Номер 2.439, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.439. Разложите многочлен на множители:

а) $m^2 - n^2 - m - n;$

б) $2x^2 - 2y^2 - x + y.$

Разложение многочлена на множители

Для разложения данного многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(m^2 - n^2) - (m + n)$

Первая группа, $m^2 - n^2$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Подставим это обратно в выражение:

$(m - n)(m + n) - (m + n)$

Мы видим, что $(m + n)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(m + n) \cdot ((m - n) - 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m + n)(m - n - 1)$

Ответ: $(m + n)(m - n - 1)$

Для разложения этого многочлена также применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(2x^2 - 2y^2) + (-x + y)$

В первой группе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(x^2 - y^2)$

Выражение в скобках, $x^2 - y^2$, является разностью квадратов. Разложим его по формуле:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Таким образом, первая группа равна $2(x - y)(x + y)$.

Во второй группе, $(-x + y)$, вынесем -1 за скобки, чтобы получить множитель, схожий с множителем из первой группы:

$-x + y = -(x - y)$

Теперь объединим всё выражение:

$2(x - y)(x + y) - (x - y)$

Мы видим общий множитель $(x - y)$. Вынесем его за скобки:

$(x - y) \cdot (2(x + y) - 1)$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(x - y)(2x + 2y - 1)$

Ответ: $(x - y)(2x + 2y - 1)$