Номер 2.436, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.436. Используя комбинацию различных способов, разложите многочлен на множители:

а) $5a^2 - 5;$

б) $x^3 - x;$

в) $5y^4 - 20y^2.$

а) $5a^2 - 5$
Для разложения данного многочлена на множители необходимо использовать комбинацию двух способов: вынесение общего множителя за скобки и применение формулы сокращенного умножения (разность квадратов).
1. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5a^2 - 5 = 5(a^2 - 1)$
2. Выражение в скобках $(a^2 - 1)$ представляет собой разность квадратов, так как $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
3. Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители выглядит так:
$5(a - 1)(a + 1)$
Ответ: $5(a - 1)(a + 1)$.

б) $x^3 - x$
Для разложения данного многочлена на множители также используем вынесение общего множителя и формулу разности квадратов.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
2. Выражение в скобках $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
3. Подставив разложение обратно в выражение, получаем:
$x(x - 1)(x + 1)$
Ответ: $x(x - 1)(x + 1)$.

в) $5y^4 - 20y^2$
Разложим многочлен, используя вынесение общего множителя и формулу разности квадратов.
1. Найдем наибольший общий делитель для членов многочлена. Для коэффициентов 5 и 20 это 5, для переменных $y^4$ и $y^2$ это $y^2$. Таким образом, общий множитель равен $5y^2$. Вынесем его за скобки:
$5y^4 - 20y^2 = 5y^2(y^2 - 4)$
2. Выражение в скобках $(y^2 - 4)$ является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2)$
3. Следовательно, окончательное разложение имеет вид:
$5y^2(y - 2)(y + 2)$
Ответ: $5y^2(y - 2)(y + 2)$.