Номер 2.429, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.429. Используя формулу квадрата суммы (квадрата разности), разложите многочлен на множители:

а) $x^2 + 10xy + 25y^2;$

б) $36a^2 - 12a + 1;$

в) $9 + 6m^2 + m^4;$

г) $49b^4 - 28b^2c^3 + 4c^6.$

Для разложения многочленов на множители будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Формула квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• Формула квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

а) $x^2 + 10xy + 25y^2$

Данный многочлен соответствует формуле квадрата суммы. Определим $a$ и $b$.

Первый член: $x^2$. Это квадрат $x$. Значит, $a = x$.

Третий член: $25y^2$. Это квадрат $5y$. Значит, $b = 5y$.

Проверим средний член, который должен быть удвоенным произведением $a$ и $b$: $2ab = 2 \cdot x \cdot (5y) = 10xy$.

Так как средний член совпадает, мы можем применить формулу:

$x^2 + 10xy + 25y^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x + 5y)^2$.

Ответ: $(x + 5y)^2$.

б) $36a^2 - 12a + 1$

Этот многочлен соответствует формуле квадрата разности. Определим $a$ и $b$.

Первый член: $36a^2$. Это квадрат $6a$. Значит, $a = 6a$.

Третий член: $1$. Это квадрат $1$. Значит, $b = 1$.

Проверим средний член со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot (6a) \cdot 1 = -12a$.

Средний член совпадает, следовательно, применяем формулу:

$36a^2 - 12a + 1 = (6a)^2 - 2 \cdot (6a) \cdot 1 + (1)^2 = (6a - 1)^2$.

Ответ: $(6a - 1)^2$.

в) $9 + 6m^2 + m^4$

Для удобства можно переписать многочлен в стандартном виде: $m^4 + 6m^2 + 9$. Этот многочлен соответствует формуле квадрата суммы.

Первый член: $m^4$. Это квадрат $m^2$. Значит, $a = m^2$.

Третий член: $9$. Это квадрат $3$. Значит, $b = 3$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot m^2 \cdot 3 = 6m^2$.

Средний член совпадает, применяем формулу:

$m^4 + 6m^2 + 9 = (m^2)^2 + 2 \cdot m^2 \cdot 3 + (3)^2 = (m^2 + 3)^2$.

В исходном порядке это выглядит так: $9 + 6m^2 + m^4 = (3 + m^2)^2$.

Ответ: $(m^2 + 3)^2$.

г) $49b^4 - 28b^2c^3 + 4c^6$

Этот многочлен соответствует формуле квадрата разности.

Первый член: $49b^4$. Это квадрат $7b^2$. Значит, $a = 7b^2$.

Третий член: $4c^6$. Это квадрат $2c^3$, так как $(2c^3)^2 = 2^2 \cdot (c^3)^2 = 4c^6$. Значит, $b = 2c^3$.

Проверим средний член со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot (7b^2) \cdot (2c^3) = -28b^2c^3$.

Средний член совпадает, следовательно, применяем формулу:

$49b^4 - 28b^2c^3 + 4c^6 = (7b^2)^2 - 2 \cdot (7b^2) \cdot (2c^3) + (2c^3)^2 = (7b^2 - 2c^3)^2$.

Ответ: $(7b^2 - 2c^3)^2$.