Номер 2.431, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.431. Разложите многочлен на множители:

a) $-49 + a^2$;

б) $-25m^2 + n^2$;

в) $-16 + 8b - b^2$;

г) $-b^4 - 18b^2 - 81.$

а) $-49 + a^2$

Для разложения многочлена на множители, сначала поменяем местами слагаемые, чтобы получить более привычный вид:

$-49 + a^2 = a^2 - 49$

Это выражение является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x = a$ и $y^2 = 49$, следовательно $y = 7$.

Подставим эти значения в формулу:

$a^2 - 7^2 = (a - 7)(a + 7)$

Ответ: $(a - 7)(a + 7)$

б) $-25m^2 + n^2$

Поменяем слагаемые местами, чтобы представить выражение в виде разности квадратов:

$-25m^2 + n^2 = n^2 - 25m^2$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В этом выражении $x = n$ и $y^2 = 25m^2$, следовательно $y = 5m$.

Подставляем в формулу:

$n^2 - (5m)^2 = (n - 5m)(n + 5m)$

Ответ: $(n - 5m)(n + 5m)$

в) $-16 + 8b - b^2$

Сначала вынесем знак минус за скобки и упорядочим члены по убыванию степеней переменной $b$:

$-16 + 8b - b^2 = -(b^2 - 8b + 16)$

Выражение в скобках $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности. Используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = b$, $y = \sqrt{16} = 4$. Проверим второй член: $-2xy = -2 \cdot b \cdot 4 = -8b$. Он совпадает.

Таким образом, $b^2 - 8b + 16 = (b - 4)^2$.

Учитывая вынесенный знак минус, получаем:

$-(b - 4)^2$

Ответ: $-(b - 4)^2$

г) $-b^4 - 18b^2 - 81$

Вынесем знак минус за скобки:

$-b^4 - 18b^2 - 81 = -(b^4 + 18b^2 + 81)$

Выражение в скобках $b^4 + 18b^2 + 81$ является полным квадратом суммы. Применим формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В этом случае $x = b^2$ и $y = \sqrt{81} = 9$. Проверим второй член: $2xy = 2 \cdot b^2 \cdot 9 = 18b^2$. Он совпадает.

Следовательно, $b^4 + 18b^2 + 81 = (b^2 + 9)^2$.

Возвращая вынесенный знак минус, получаем окончательный результат:

$-(b^2 + 9)^2$

Ответ: $-(b^2 + 9)^2$