Номер 2.435, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.435. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) $1 + 49b^2 - 14b$;

б) $2m^2n + m^4 + n^2$.

Чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, необходимо распознать в нем одну из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

а) $1 + 49b^2 - 14b$

Для удобства переставим члены многочлена, чтобы привести его к стандартному виду формулы: $49b^2 - 14b + 1$.

Теперь определим, являются ли первый и последний члены полными квадратами, и соответствует ли средний член удвоенному произведению их корней.

• Первый член: $49b^2 = (7b)^2$.
• Третий член: $1 = 1^2$.
• Средний член (удвоенное произведение): $2 \cdot (7b) \cdot 1 = 14b$.

Так как средний член в исходном выражении имеет знак минус ($-14b$), мы используем формулу квадрата разности. В нашем случае $a = 7b$ и $b = 1$.

$49b^2 - 14b + 1 = (7b - 1)^2$.

Другой возможный вариант записи, если поменять местами слагаемые в исходном выражении как $1 - 14b + 49b^2$, будет $(1 - 7b)^2$. Оба ответа эквивалентны, так как $(x-y)^2 = (y-x)^2$.

Ответ: $(7b - 1)^2$

б) $2m^2n + m^4 + n^2$

Переставим члены многочлена, чтобы привести его к стандартному виду: $m^4 + 2m^2n + n^2$.

Проверим, соответствует ли это выражение формуле квадрата суммы.

• Первый член: $m^4 = (m^2)^2$.
• Третий член: $n^2 = (n)^2$.
• Средний член (удвоенное произведение): $2 \cdot (m^2) \cdot (n) = 2m^2n$.

Все члены соответствуют формуле квадрата суммы, где $a = m^2$ и $b = n$.

$m^4 + 2m^2n + n^2 = (m^2 + n)^2$.

Ответ: $(m^2 + n)^2$