Номер 2.432, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.432. Разложите многочлен на множители:

а) $(a+7)^2 - 1;$

б) $25 - (b+3)^2;$

в) $(m-n)^2 - k^2;$

г) $(y-5)^2 - 9y^2;$

д) $25a^2 - (4a-5)^2;$

е) $(3x+2)^2 - (3x-1)^2.$

Для решения всех пунктов данной задачи используется формула сокращенного умножения "разность квадратов":

$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $(a+7)^2 - 1$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $A = (a+7)$, а $B^2 = 1$, значит $B=1$.

Применяем формулу:

$(a+7)^2 - 1^2 = ((a+7) - 1)((a+7) + 1)$

Упрощаем выражения в каждой скобке:

$(a + 7 - 1)(a + 7 + 1) = (a + 6)(a + 8)$

Ответ: $(a+6)(a+8)$

б) $25 - (b+3)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $A^2 = 25$, значит $A=5$, а $B = (b+3)$.

Применяем формулу:

$5^2 - (b+3)^2 = (5 - (b+3))(5 + (b+3))$

Упрощаем выражения в каждой скобке, обращая внимание на знак перед второй скобкой:

$(5 - b - 3)(5 + b + 3) = (2 - b)(8 + b)$

Ответ: $(2-b)(b+8)$

в) $(m-n)^2 - k^2$

Это выражение уже представлено в виде разности квадратов. Здесь $A = (m-n)$, а $B = k$.

Применяем формулу:

$((m-n) - k)((m-n) + k)$

Раскрываем внутренние скобки:

$(m-n-k)(m-n+k)$

Ответ: $(m-n-k)(m-n+k)$

г) $(y-5)^2 - 9y^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $A = (y-5)$, а $B^2 = 9y^2$, значит $B=3y$.

Применяем формулу:

$(y-5)^2 - (3y)^2 = ((y-5) - 3y)((y-5) + 3y)$

Упрощаем выражения в каждой скобке:

$(y - 5 - 3y)(y - 5 + 3y) = (-2y - 5)(4y - 5)$

Ответ: $(-2y-5)(4y-5)$

д) $25a^2 - (4a-5)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $A^2 = 25a^2$, значит $A=5a$, а $B = (4a-5)$.

Применяем формулу:

$(5a)^2 - (4a-5)^2 = (5a - (4a-5))(5a + (4a-5))$

Упрощаем выражения в каждой скобке:

$(5a - 4a + 5)(5a + 4a - 5) = (a + 5)(9a - 5)$

Ответ: $(a+5)(9a-5)$

е) $(3x+2)^2 - (3x-1)^2$

Это выражение уже представлено в виде разности квадратов. Здесь $A = (3x+2)$, а $B = (3x-1)$.

Применяем формулу:

$((3x+2) - (3x-1))((3x+2) + (3x-1))$

Упрощаем выражения в каждой скобке:

$(3x + 2 - 3x + 1)(3x + 2 + 3x - 1)$

Приводим подобные слагаемые в каждой скобке:

$(3)(6x + 1)$

Ответ: $3(6x+1)$