Номер 3.195, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.195* Даны три последовательных натуральных числа. Сравните удвоенный квадрат среднего из них с суммой квадратов двух других чисел.

Даны три последовательных натуральных числа. Сравните удвоенный квадрат среднего из них с суммой квадратов двух других чисел.

Для решения этой задачи обозначим три последовательных натуральных числа через переменные. Пусть среднее из них будет $n$. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее за ним — $n+1$. Условие, что числа натуральные, означает, что $n-1 \ge 1$, то есть $n \ge 2$.

Таким образом, мы имеем три числа: $n-1, n, n+1$.

Теперь найдем величины, которые необходимо сравнить согласно условию задачи.

1. Удвоенный квадрат среднего числа.
Среднее число в нашей последовательности — это $n$.
Квадрат среднего числа равен $n^2$.
Удвоенный квадрат среднего числа равен: $$2 \cdot n^2 = 2n^2$$

2. Сумма квадратов двух других чисел.
Два других числа — это первое и третье, то есть $n-1$ и $n+1$.
Сумма их квадратов равна: $$(n-1)^2 + (n+1)^2$$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $$(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$$ $$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$$

Теперь сложим эти два результата: $$(n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 2n + 1) = n^2 + n^2 - 2n + 2n + 1 + 1 = 2n^2 + 2$$

Теперь проведем сравнение полученных величин:

• Удвоенный квадрат среднего числа: $2n^2$.
• Сумма квадратов двух других чисел: $2n^2 + 2$.

Сравнивая $2n^2$ и $2n^2 + 2$, мы видим, что второе выражение больше первого на 2, так как $2n^2 + 2 > 2n^2$ для любого числа $n$.

Ответ: Сумма квадратов двух других чисел всегда на 2 больше, чем удвоенный квадрат среднего из них.