Номер 3.188, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.188. Верно ли, что если:

а) $a > 6, b > 7$, то $ab > 43$;

б) $a < 3, b < 5, a > 0, b > 0$, то $ab < 15$;

в) $a > 2, b > 6$, то $a + b > 7$?

а) Проверим утверждение: если $a > 6$ и $b > 7$, то $ab > 43$.

Согласно свойству числовых неравенств, если перемножить два неравенства одинакового знака, в которых все части положительны, то получится неравенство того же знака. В данном случае $a > 6$ и $b > 7$, следовательно, $a$ и $b$ — положительные числа.

Перемножим левые и правые части неравенств: $a \cdot b > 6 \cdot 7$ $ab > 42$

Из полученного неравенства $ab > 42$ не следует, что $ab$ обязательно больше 43. Например, значение $ab$ может находиться в интервале $(42, 43]$. Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести один контрпример.

Возьмем значения $a$ и $b$, близкие к 6 и 7 соответственно. Пусть $a = 6.1$ и $b = 7.1$. Условия $a > 6$ (6.1 > 6) и $b > 7$ (7.1 > 7) выполнены. Найдем их произведение: $ab = 6.1 \cdot 7.1 = 43.31$. В этом случае $43.31 > 43$, и это не является контрпримером.

Попробуем взять значения еще ближе к границам. Пусть $a = 6.01$ и $b = 7.01$. Условия $a > 6$ и $b > 7$ по-прежнему выполнены. Их произведение: $ab = 6.01 \cdot 7.01 = 42.1301$. Полученное значение $42.1301$ не больше 43. Таким образом, мы нашли контрпример.

Ответ: Нет.

б) Проверим утверждение: если $a < 3, b < 5, a > 0, b > 0$, то $ab < 15$.

Нам даны два неравенства: $0 < a < 3$ и $0 < b < 5$. Так как все части неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить, сохранив знак неравенства: $a \cdot b < 3 \cdot 5$ $ab < 15$

Полученное неравенство $ab < 15$ в точности совпадает с утверждением в задаче. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да.

в) Проверим утверждение: если $a > 2$ и $b > 6$, то $a + b > 7$.

Согласно свойству числовых неравенств, если сложить два неравенства одинакового знака, то получится неравенство того же знака.

Сложим почленно неравенства $a > 2$ и $b > 6$: $a + b > 2 + 6$ $a + b > 8$

Если некоторое число больше 8, то оно очевидно больше и 7. Так как мы доказали, что $a+b > 8$, то из этого логически следует, что $a+b > 7$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да.