Номер 3.194, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.194. Зная, что $5 \le a < 8$ и $2 \le b < 9$, оцените значение выражения $\frac{a}{6} - 7b$.

Условие задачи: даны неравенства $5 \le a < 8$ и $2 \le b < 9$. Требуется оценить значение выражения $\frac{a}{6} - 7b$.

Для решения задачи необходимо найти границы для каждого компонента в выражении, а затем оценить их разность. Представим выражение в виде суммы: $\frac{a}{6} + (-7b)$.

1. Оценка слагаемого $\frac{a}{6}$

Используем заданное неравенство $5 \le a < 8$. Разделим все его части на 6. Так как 6 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{5}{6} \le \frac{a}{6} < \frac{8}{6}$
Упростив дробь в правой части, получаем:
$\frac{5}{6} \le \frac{a}{6} < \frac{4}{3}$

2. Оценка слагаемого $-7b$

Используем заданное неравенство $2 \le b < 9$. Умножим все его части на -7. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$2 \cdot (-7) \ge b \cdot (-7) > 9 \cdot (-7)$
$-14 \ge -7b > -63$
Для удобства запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-63 < -7b \le -14$

3. Оценка всего выражения $\frac{a}{6} - 7b$

Теперь мы можем сложить полученные неравенства почленно, чтобы найти итоговые границы:
$\frac{5}{6} + (-63) < \frac{a}{6} + (-7b) < \frac{4}{3} + (-14)$
Обратите внимание, что знаки в итоговом неравенстве строгие. Это связано с тем, что в левой части $-7b$ строго больше $-63$, а в правой части $\frac{a}{6}$ строго меньше $\frac{4}{3}$.

Вычислим числовые значения границ.

Вычисляем левую часть итогового неравенства:
$\frac{5}{6} - 63 = \frac{5}{6} - \frac{63 \cdot 6}{6} = \frac{5 - 378}{6} = -\frac{373}{6}$
Чтобы выделить целую часть, представим неправильную дробь в виде смешанного числа. Разделим 373 на 6 с остатком: $373 = 62 \cdot 6 + 1$.
Следовательно, $-\frac{373}{6} = -62\frac{1}{6}$.

Ответ: -62

Вычисляем правую часть итогового неравенства:
$\frac{4}{3} - 14 = \frac{4}{3} - \frac{14 \cdot 3}{3} = \frac{4 - 42}{3} = -\frac{38}{3}$
Чтобы выделить целую часть, представим неправильную дробь в виде смешанного числа. Разделим 38 на 3 с остатком: $38 = 12 \cdot 3 + 2$.
Следовательно, $-\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3}$.

Ответ: -12

Итоговый результат

Объединив полученные границы, получаем окончательную оценку для выражения:

$-62\frac{1}{6} < \frac{a}{6} - 7b < -12\frac{2}{3}$