Номер 3.201, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.201. Упростите выражение $\frac{a^{-6}}{a^{-3} \cdot a^{-2}}$ и найдите его значение при $a = \frac{2}{3}$.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала упростить алгебраическое выражение, а затем подставить в него указанное значение переменной.

Упростите выражение

Дано выражение: $\frac{a^{-6}}{a^{-3} \cdot a^{-2}}$

1. Упростим знаменатель дроби, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-5}$

2. Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{a^{-6}}{a^{-5}}$

3. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{a^{-6}}{a^{-5}} = a^{-6 - (-5)} = a^{-6 + 5} = a^{-1}$

Выражение $a^{-1}$ также можно записать как $\frac{1}{a}$.

Ответ: $a^{-1}$.

Найдите его значение при $a = \frac{2}{3}$

Подставим значение $a = \frac{2}{3}$ в упрощенное выражение $a^{-1}$:

$(\frac{2}{3})^{-1}$

Используя свойство отрицательной степени $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^{n}$, получаем:

$(\frac{2}{3})^{-1} = (\frac{3}{2})^{1} = \frac{3}{2}$

Полученная дробь $\frac{3}{2}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$.