вопросы, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Запишите три разных линейных неравенства с одной переменной. Сколько решений имеет каждое из них?

2. Обе части неравенства $x > -3$ умножили на 5. Есть ли среди решений нового неравенства отрицательные числа?

3. Обе части неравенства $x > -3$ умножили на -5. Есть ли среди решений нового неравенства положительные числа?

4. Решение некоторого неравенства есть все числа, меньшие -0,2, т. е. $x < -0,2$. К обеим частям неравенства прибавили число 100. Можно ли определить решение нового неравенства?

1. Запишите три разных линейных неравенства с одной переменной. Сколько решений имеет каждое из них?
Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$, где $a$ и $b$ — некоторые числа, а $x$ — переменная, причем $a \neq 0$.
Примеры трех разных линейных неравенств:

1. $x + 7 > 12$. Решив его, получим $x > 5$. Решением является интервал $(5; +\infty)$.
2. $2y - 6 \le 2$. Решив его, получим $2y \le 8$, то есть $y \le 4$. Решением является числовой луч $(-\infty; 4]$.
3. $15 - 3z < 0$. Решив его, получим $15 < 3z$, то есть $5 < z$ или $z > 5$. Решением является интервал $(5; +\infty)$.

В каждом из приведенных случаев решением является бесконечное множество чисел (числовой луч или открытый числовой луч). Это верно для любого нестрогого или строгого линейного неравенства с одной переменной.
Ответ: Каждое такое неравенство имеет бесконечно много решений.

2. Обе части неравенства $x > -3$ умножили на 5. Есть ли среди решений нового неравенства отрицательные числа?
Исходное неравенство: $x > -3$.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число (в данном случае на 5) знак неравенства сохраняется.
Получаем новое неравенство:
$5 \cdot x > 5 \cdot (-3)$
$5x > -15$
Чтобы найти множество решений этого нового неравенства, разделим обе его части на 5:
$x > \frac{-15}{5}$
$x > -3$
Решением нового неравенства является интервал $(-3; +\infty)$. Этот интервал содержит отрицательные числа (например, -2, -1, -0.5), ноль и все положительные числа.
Ответ: Да, есть. Например, число -1 является решением, так как $-1 > -3$.

3. Обе части неравенства $x > -3$ умножили на -5. Есть ли среди решений нового неравенства положительные числа?
Исходное неравенство: $x > -3$.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (в данном случае на -5) знак неравенства меняется на противоположный (с ">" на "<").
Получаем новое неравенство:
$(-5) \cdot x < (-5) \cdot (-3)$
$-5x < 15$
Чтобы найти множество решений этого нового неравенства, разделим обе его части на -5 и снова сменим знак неравенства на противоположный (с "<" на ">"):
$x > \frac{15}{-5}$
$x > -3$
Решением нового неравенства, как и исходного, является интервал $(-3; +\infty)$. Этот интервал содержит все положительные числа.
Ответ: Да, есть. Например, число 10 является решением, так как $10 > -3$. Более того, все положительные числа являются решениями.

4. Решение некоторого неравенства есть все числа, меньшие -0,2, т. е. $x < -0,2$. К обеим частям неравенства прибавили число 100. Можно ли определить решение нового неравенства?
Пусть исходное неравенство было $x < -0,2$.
Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не меняется.
Прибавим 100 к обеим частям:
$x + 100 < -0,2 + 100$
$x + 100 < 99,8$
Это и есть новое неравенство. Его решение можно легко определить. Такие преобразования (прибавление или вычитание числа) называются равносильными, то есть они не меняют множество решений неравенства. Чтобы найти решение, вычтем 100 из обеих частей нового неравенства:
$x < 99,8 - 100$
$x < -0,2$
Решение нового неравенства полностью совпадает с решением исходного.
Ответ: Да, можно. Решением нового неравенства является множество всех чисел, меньших -0,2 ($x < -0,2$).