Номер 3.189, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.189. Длины сторон треугольника не превышают 8 см, 12 см и 17 см. Оцените периметр данного треугольника.

В задаче требуется оценить периметр треугольника, зная, что длины его сторон не превышают 8 см, 12 см и 17 см. Оценить периметр — значит найти диапазон возможных значений, то есть его наименьшую (нижнюю границу) и наибольшую (верхнюю границу) возможные величины.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, на них наложены следующие ограничения:

• $0 < a \le 8$ см
• $0 < b \le 12$ см
• $0 < c \le 17$ см

Также, поскольку $a, b, c$ являются сторонами треугольника, для них должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Нахождение верхней границы периметра

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$

Чтобы найти максимальное возможное значение периметра, нужно взять максимально возможные значения для каждой из сторон. Сложим неравенства, определяющие максимальные длины сторон: $a + b + c \le 8 + 12 + 17$ $P \le 37$ см

Проверим, может ли существовать треугольник с такими сторонами: $a=8, b=12, c=17$.

• $8 + 12 > 17 \implies 20 > 17$ (Верно)
• $8 + 17 > 12 \implies 25 > 12$ (Верно)
• $12 + 17 > 8 \implies 29 > 8$ (Верно)

Все неравенства треугольника выполняются, значит, такой треугольник существует. Следовательно, максимальное значение периметра равно 37 см.

Нахождение нижней границы периметра

Для нахождения минимального значения периметра нужно рассмотреть, какими малыми могут быть стороны треугольника, чтобы он все еще удовлетворял заданным условиям.

Стороны треугольника должны быть больше нуля. Рассмотрим, например, равносторонний треугольник со стороной $\epsilon$, где $\epsilon$ — очень малое положительное число (например, $\epsilon = 0,01$ см).

• $a = 0,01$ см, что не превышает 8 см.
• $b = 0,01$ см, что не превышает 12 см.
• $c = 0,01$ см, что не превышает 17 см.

Неравенство треугольника для него выполняется: $0,01 + 0,01 > 0,01$. Периметр такого треугольника равен $P = 3 \times 0,01 = 0,03$ см.

Выбирая сколь угодно малое значение $\epsilon$, мы можем получить периметр, сколь угодно близкий к нулю. Таким образом, строгой положительной нижней границы для периметра не существует, кроме того, что он должен быть больше нуля ($P > 0$).

Оценка периметра

Объединяя результаты для верхней и нижней границ, мы получаем оценку для периметра $P$: $0 < P \le 37$ см.

Ответ: Периметр данного треугольника больше 0 см, но не превышает 37 см.