Номер 3.247, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.247. Решите неравенство:

а) $2(x - 6) + 7 < 3x - 10;$

б) $2x - 3(x + 1) > 2 + x;$

в) $10x + 6 < 3(5x - 1) - 2x;$

г) $24 - x < 2 - 3(x - 6);$

д) $5(x + 4) < 2(4x - 5);$

е) $4(x - 1) - (9x - 5) \ge 3.$

Ниже представлено развернутое решение каждого неравенства из задачи.

а) $2(x - 6) + 7 < 3x - 10$

1. Раскроем скобки в левой части неравенства:

$2 \cdot x - 2 \cdot 6 + 7 < 3x - 10$

$2x - 12 + 7 < 3x - 10$

2. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$2x - 5 < 3x - 10$

3. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Для этого вычтем $2x$ из обеих частей и прибавим $10$ к обеим частям:

$10 - 5 < 3x - 2x$

4. Выполним вычисления:

$5 < x$

5. Запишем решение в стандартном виде:

$x > 5$

Решением является интервал $(5, +\infty)$.

Ответ: $x > 5$.

б) $2x - 3(x + 1) > 2 + x$

1. Раскроем скобки в левой части неравенства:

$2x - 3 \cdot x - 3 \cdot 1 > 2 + x$

$2x - 3x - 3 > 2 + x$

2. Упростим левую часть:

$-x - 3 > 2 + x$

3. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую. Вычтем $x$ из обеих частей и прибавим $3$ к обеим частям:

$-x - x > 2 + 3$

$-2x > 5$

4. Разделим обе части неравенства на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{5}{-2}$

$x < -\frac{5}{2}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x < -2\frac{1}{2}$

Решением является интервал $(-\infty, -2\frac{1}{2})$.

Ответ: $x < -2\frac{1}{2}$.

в) $10x + 6 < 3(5x - 1) - 2x$

1. Раскроем скобки в правой части неравенства:

$10x + 6 < 3 \cdot 5x - 3 \cdot 1 - 2x$

$10x + 6 < 15x - 3 - 2x$

2. Упростим правую часть:

$10x + 6 < 13x - 3$

3. Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$6 + 3 < 13x - 10x$

4. Выполним вычисления:

$9 < 3x$

5. Разделим обе части на 3:

$3 < x$

6. Запишем решение в стандартном виде:

$x > 3$

Решением является интервал $(3, +\infty)$.

Ответ: $x > 3$.

г) $24 - x < 2 - 3(x - 6)$

1. Раскроем скобки в правой части:

$24 - x < 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-6)$

$24 - x < 2 - 3x + 18$

2. Упростим правую часть:

$24 - x < 20 - 3x$

3. Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$3x - x < 20 - 24$

4. Упростим обе части:

$2x < -4$

5. Разделим обе части на 2:

$x < -2$

Решением является интервал $(-\infty, -2)$.

Ответ: $x < -2$.

д) $5(x + 4) < 2(4x - 5)$

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5x + 20 < 8x - 10$

2. Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$20 + 10 < 8x - 5x$

3. Упростим обе части:

$30 < 3x$

4. Разделим обе части на 3:

$10 < x$

5. Запишем решение в стандартном виде:

$x > 10$

Решением является интервал $(10, +\infty)$.

Ответ: $x > 10$.

е) $4(x - 1) - (9x - 5) \ge 3$

1. Раскроем скобки в левой части. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри нее меняются на противоположные:

$4x - 4 - 9x + 5 \ge 3$

2. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$(4x - 9x) + (-4 + 5) \ge 3$

$-5x + 1 \ge 3$

3. Перенесем число $1$ в правую часть:

$-5x \ge 3 - 1$

$-5x \ge 2$

4. Разделим обе части на $-5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{2}{-5}$

$x \le -\frac{2}{5}$

Дробь $-\frac{2}{5}$ является правильной, поэтому выделять целую часть не требуется.

Решением является интервал $(-\infty, -\frac{2}{5}]$.

Ответ: $x \le -\frac{2}{5}$.