Номер 3.252, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.252. Найдите, при каких значениях переменной $y$ значение дроби $\frac{2y+5}{18}$ не меньше значения суммы дробей $\frac{7y-3}{6}$ и $\frac{2-5y}{4}$.

Для решения задачи составим неравенство в соответствии с условием. Фраза "не меньше" означает "больше или равно" ($\ge$).

$\frac{2y + 5}{18} \ge \frac{7y - 3}{6} + \frac{2 - 5y}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 18, 6 и 4 равно 36. Умножим обе части неравенства на 36, чтобы избавиться от дробей. Так как 36 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$36 \cdot \frac{2y + 5}{18} \ge 36 \cdot \left( \frac{7y - 3}{6} + \frac{2 - 5y}{4} \right)$

$36 \cdot \frac{2y + 5}{18} \ge 36 \cdot \frac{7y - 3}{6} + 36 \cdot \frac{2 - 5y}{4}$

Выполним сокращение дробей:

$2 \cdot (2y + 5) \ge 6 \cdot (7y - 3) + 9 \cdot (2 - 5y)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$4y + 10 \ge 42y - 18 + 18 - 45y$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$4y + 10 \ge -3y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемых через знак неравенства их знак меняется на противоположный.

$4y + 3y \ge -10$

$7y \ge -10$

Разделим обе части неравенства на 7. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$y \ge -\frac{10}{7}$

По условию, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби. Преобразуем дробь $-\frac{10}{7}$ в смешанное число:

$-\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7}$

Таким образом, искомые значения переменной $y$ удовлетворяют неравенству:

$y \ge -1\frac{3}{7}$

Ответ: $y \ge -1\frac{3}{7}$.