Номер 3.250, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.250. Решите неравенство:

а) $\frac{x}{2} \ge \frac{2x - 3}{8} + 1;$

б) $\frac{x + 3}{4} + \frac{2 - x}{3} < 0;$

в) $x - \frac{x - 3}{4} + \frac{x + 1}{8} \le 2;$

г) $1 - \frac{3 + x}{2} < \frac{31 + x}{5} - x.$

а) Дано неравенство: $\frac{x}{2} \ge \frac{2x-3}{8} + 1$.

Для решения приведем все члены неравенства к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 8 равен 8. Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от дробей:

$8 \cdot \frac{x}{2} \ge 8 \cdot \left(\frac{2x-3}{8} + 1\right)$

$4x \ge 8 \cdot \frac{2x-3}{8} + 8 \cdot 1$

$4x \ge 2x-3 + 8$

Упростим правую часть:

$4x \ge 2x + 5$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$4x - 2x \ge 5$

$2x \ge 5$

Разделим обе части на 2:

$x \ge \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$x \ge 2\frac{1}{2}$

Ответ: $x \ge 2\frac{1}{2}$.

б) Дано неравенство: $\frac{x+3}{4} + \frac{2-x}{3} < 0$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 3, который равен 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot \frac{x+3}{4} + 12 \cdot \frac{2-x}{3} < 12 \cdot 0$

$3(x+3) + 4(2-x) < 0$

Раскроем скобки:

$3x + 9 + 8 - 4x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - 4x) + (9 + 8) < 0$

$-x + 17 < 0$

Перенесем 17 в правую часть с противоположным знаком:

$-x < -17$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 17$

Ответ: $x > 17$.

в) Дано неравенство: $x - \frac{x-3}{4} + \frac{x+1}{8} \le 2$.

Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 равен 8. Умножим все члены неравенства на 8:

$8 \cdot x - 8 \cdot \frac{x-3}{4} + 8 \cdot \frac{x+1}{8} \le 8 \cdot 2$

$8x - 2(x-3) + (x+1) \le 16$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед дробью относится ко всему числителю:

$8x - 2x + 6 + x + 1 \le 16$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8x - 2x + x) + (6 + 1) \le 16$

$7x + 7 \le 16$

Перенесем 7 в правую часть:

$7x \le 16 - 7$

$7x \le 9$

Разделим обе части на 7:

$x \le \frac{9}{7}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$x \le 1\frac{2}{7}$

Ответ: $x \le 1\frac{2}{7}$.

г) Дано неравенство: $1 - \frac{3+x}{2} < \frac{31+x}{5} - x$.

Наименьший общий знаменатель для 2 и 5 равен 10. Умножим обе части неравенства на 10:

$10 \cdot 1 - 10 \cdot \frac{3+x}{2} < 10 \cdot \frac{31+x}{5} - 10 \cdot x$

$10 - 5(3+x) < 2(31+x) - 10x$

Раскроем скобки:

$10 - 15 - 5x < 62 + 2x - 10x$

Упростим обе части неравенства:

$-5 - 5x < 62 - 8x$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$-5x + 8x < 62 + 5$

$3x < 67$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{67}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x < 22\frac{1}{3}$

Ответ: $x < 22\frac{1}{3}$.