Номер 3.273, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.273. Длина, ширина и высота бассейна равны соответственно 25 м, 10 м и $x$ м. Бассейн заполнен водой на $\frac{4}{5}$ его высоты. Задайте формулой зависимость объема воды $V$ от высоты бассейна. Является ли эта зависимость функцией? Найдите объем воды, если высота бассейна равна 3 м. Какой должна быть высота бассейна, чтобы объем воды был равен $500 \text{ м}^3$?

Исходные данные:

• Длина бассейна: $a = 25$ м
• Ширина бассейна: $b = 10$ м
• Высота бассейна: $x$ м
• Бассейн заполнен водой на $\frac{4}{5}$ его высоты.

Задайте формулой зависимость объема воды V от высоты бассейна.
Объем воды $V$ в бассейне, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется как произведение длины, ширины и высоты уровня воды.
Высота уровня воды в бассейне составляет $\frac{4}{5}$ от его общей высоты $x$, то есть $h_{воды} = \frac{4}{5}x$.
Подставим все известные значения в формулу объема:
$V = a \cdot b \cdot h_{воды} = 25 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5}x$
$V = 250 \cdot \frac{4}{5}x$
$V = \frac{250 \cdot 4}{5}x = 50 \cdot 4x = 200x$
Таким образом, зависимость объема воды от высоты бассейна выражается формулой $V(x) = 200x$.
Ответ: $V(x) = 200x$.

Является ли эта зависимость функцией?
Да, эта зависимость является функцией. Согласно определению функции, каждому значению независимой переменной (аргумента), в данном случае высоте бассейна $x$, соответствует единственное значение зависимой переменной (значения функции), в данном случае объему воды $V$. Полученная зависимость $V(x) = 200x$ является частным случаем линейной функции, а именно прямой пропорциональностью.
Ответ: Да, является.

Найдите объем воды, если высота бассейна равна 3 м.
Для нахождения объема воды воспользуемся выведенной формулой $V = 200x$. Подставим значение высоты бассейна $x = 3$ м:
$V = 200 \cdot 3 = 600$ м³.
Ответ: 600 м³.

Какой должна быть высота бассейна, чтобы объем воды был равен 500 м³?
Используем ту же формулу $V = 200x$, подставив в нее известный объем воды $V = 500$ м³:
$500 = 200x$
Выразим из этого уравнения высоту $x$:
$x = \frac{500}{200} = \frac{5}{2}$ м.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{2}$ в смешанное число, чтобы выделить целую часть:
$x = 2\frac{1}{2}$ м.
Ответ: 2$\frac{1}{2}$ м.