Номер 3.268, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.268. Одна учительница математики может проверить все контрольные работы за 3 ч, а вторая — за 5 ч. Найдите, за какое время они могут проверить все контрольные работы, если будут работать вместе.

Для решения этой задачи необходимо определить производительность (скорость выполнения работы) каждой учительницы, а затем найти их общую производительность при совместной работе.

Весь объем работы, то есть все контрольные, мы принимаем за 1 (одну целую единицу).

Первая учительница выполняет всю работу за 3 часа. Следовательно, её производительность составляет $ \frac{1}{3} $ всей работы в час.

Вторая учительница выполняет ту же работу за 5 часов. Таким образом, её производительность равна $ \frac{1}{5} $ всей работы в час.

Когда учительницы работают вместе, их производительности складываются. Общая производительность будет равна сумме их индивидуальных производительностей: $ P_{общая} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} $

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, который равен 15: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15} $
Это означает, что, работая вместе, они выполняют $ \frac{8}{15} $ всей работы за один час.

Чтобы найти общее время ($T$), за которое будет выполнена вся работа, нужно разделить единицу (весь объем работы) на общую производительность: $ T = \frac{1}{P_{общая}} = 1 \div \frac{8}{15} = 1 \times \frac{15}{8} = \frac{15}{8} $ часа.

Полученная дробь $ \frac{15}{8} $ является неправильной. Необходимо выделить из нее целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель: 15 разделить на 8 равно 1 с остатком 7. $ \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} $ часа.

Ответ: работая вместе, учительницы смогут проверить все контрольные работы за $1 \frac{7}{8}$ часа.