Номер 3.261, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.261. Выполните тождественные преобразования в выражении $(4x - 3y^2)^2 - 16x^2 + 9y^4$.

Для выполнения тождественных преобразований (упрощения) данного выражения можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

1. Раскроем скобки.
   Первый член выражения $(4x - 3y^2)^2$ является квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
   В нашем случае $a = 4x$ и $b = 3y^2$.

   $(4x - 3y^2)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot (3y^2) + (3y^2)^2 = 16x^2 - 24xy^2 + 9y^4$

2. Подставим результат в исходное выражение.
   Заменим $(4x - 3y^2)^2$ на полученный многочлен:

   $(16x^2 - 24xy^2 + 9y^4) - 16x^2 + 9y^4$

3. Приведём подобные слагаемые.
   Сгруппируем члены с одинаковыми переменными в одинаковых степенях и выполним действия над их коэффициентами:

   $(16x^2 - 16x^2) + (9y^4 + 9y^4) - 24xy^2$

   $0 + 18y^4 - 24xy^2$

4. Запишем итоговый результат.
   После упрощения получаем многочлен стандартного вида:

   $18y^4 - 24xy^2$

Способ 2: Использование формул сокращенного умножения для разложения на множители

1. Перегруппируем слагаемые.
   Представим исходное выражение в виде:

   $(4x - 3y^2)^2 + (9y^4 - 16x^2)$

2. Применим формулу разности квадратов.
   Выражение $9y^4 - 16x^2$ является разностью квадратов, так как $9y^4 = (3y^2)^2$ и $16x^2 = (4x)^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

   $9y^4 - 16x^2 = (3y^2)^2 - (4x)^2 = (3y^2 - 4x)(3y^2 + 4x)$

3. Преобразуем первый член.
   Заметим, что $(4x - 3y^2)^2 = (-(3y^2 - 4x))^2 = (3y^2 - 4x)^2$.
4. Подставим преобразованные части в выражение.

   $(3y^2 - 4x)^2 + (3y^2 - 4x)(3y^2 + 4x)$

5. Вынесем общий множитель за скобки.
   Общим множителем является $(3y^2 - 4x)$:

   $(3y^2 - 4x) \cdot [(3y^2 - 4x) + (3y^2 + 4x)]$

6. Упростим выражение в квадратных скобках.

   $3y^2 - 4x + 3y^2 + 4x = (3y^2 + 3y^2) + (-4x + 4x) = 6y^2$

7. Запишем конечный результат.

   $(3y^2 - 4x) \cdot 6y^2 = 6y^2(3y^2 - 4x)$

   Раскрыв скобки, получим $18y^4 - 24xy^2$, что подтверждает верность решения.

Оба способа приводят к одному и тому же упрощенному выражению. В качестве ответа представим многочлен стандартного вида.

Ответ: $18y^4 - 24xy^2$