Номер 3.269, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.269. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Найдите, какая часть пути будет между ними через 1 ч 24 мин, если один поезд проходит весь путь между городами за 3 ч 20 мин, а второй — за 2 ч 48 мин.

Для решения задачи, примем весь путь между городами за 1. Сначала переведем все временные интервалы в минуты для удобства вычислений.

• Время в пути первого поезда: $T_1 = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 \times 60 + 20 = 200 \text{ мин}$.
• Время в пути второго поезда: $T_2 = 2 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 2 \times 60 + 48 = 168 \text{ мин}$.
• Время движения поездов до момента замера: $t = 1 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 1 \times 60 + 24 = 84 \text{ мин}$.

Теперь пошагово найдем ответ на вопрос задачи.

1. Какую часть пути проходит каждый поезд за 1 минуту?
Скорость поезда можно выразить как долю всего пути, проходимую за единицу времени (минуту).
- Скорость первого поезда: $v_1 = \frac{1}{200}$ пути в минуту.
- Скорость второго поезда: $v_2 = \frac{1}{168}$ пути в минуту.
Ответ: Первый поезд проходит $\frac{1}{200}$ пути в минуту, а второй — $\frac{1}{168}$ пути в минуту.

2. Какую часть пути прошел каждый поезд за 1 ч 24 мин?
Чтобы найти пройденную часть пути, умножим скорость каждого поезда на время движения $t = 84$ мин.
- Часть пути, пройденная первым поездом: $S_1 = v_1 \times t = \frac{1}{200} \times 84 = \frac{84}{200}$. Сократим дробь на 4: $\frac{84 \div 4}{200 \div 4} = \frac{21}{50}$.
- Часть пути, пройденная вторым поездом: $S_2 = v_2 \times t = \frac{1}{168} \times 84 = \frac{84}{168}$. Сократим дробь на 84: $\frac{84 \div 84}{168 \div 84} = \frac{1}{2}$.
Ответ: За 1 ч 24 мин первый поезд прошел $\frac{21}{50}$ пути, а второй — $\frac{1}{2}$ пути.

3. Какую часть пути прошли оба поезда вместе?
Так как поезда движутся навстречу друг другу, их пройденные расстояния складываются.
$S_{общая} = S_1 + S_2 = \frac{21}{50} + \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 50: $\frac{1}{2} = \frac{25}{50}$.
$S_{общая} = \frac{21}{50} + \frac{25}{50} = \frac{46}{50}$.
Сократим дробь на 2: $S_{общая} = \frac{23}{25}$.
Ответ: Вместе поезда прошли $\frac{23}{25}$ всего пути.

4. Какая часть пути будет между ними через 1 ч 24 мин?
Чтобы найти оставшееся расстояние между поездами, нужно из всего пути (1) вычесть общую пройденную ими часть.
$S_{оставшаяся} = 1 - S_{общая} = 1 - \frac{23}{25} = \frac{25}{25} - \frac{23}{25} = \frac{2}{25}$.
Ответ: Через 1 ч 24 мин между поездами будет $\frac{2}{25}$ всего пути.