вопросы, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Если функция задана формулой $y = kx + b$, то верно ли, что ее графиком может быть любая прямая на координатной плоскости?

2. Всегда ли прямая $y = kx + b$ пересекает обе оси координат?

3. Верно ли, что значения функции $y = 3x + 1$ для всех значений аргумента положительны, а значения функции $y = -3x - 1$ для всех значений аргумента отрицательны?

1. Если функция задана формулой $y = kx + b$, то верно ли, что ее графиком может быть любая прямая на координатной плоскости?

Уравнение вида $y = kx + b$ задает линейную функцию. Графиком такой функции является прямая линия. В этом уравнении $k$ представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс), а $b$ — ординату точки пересечения прямой с осью ординат (осью OY).

Однако это уравнение не может описать любую прямую на координатной плоскости. Рассмотрим вертикальную прямую. Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — некоторая константа. Для такой прямой одному значению аргумента $x=c$ соответствует бесконечное множество значений функции $y$. Это противоречит определению функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции.

Кроме того, угловой коэффициент $k$ для вертикальной прямой не определен (считается равным бесконечности), в то время как в формуле $y = kx + b$ коэффициент $k$ должен быть действительным числом.

Таким образом, формула $y = kx + b$ описывает все прямые на плоскости, кроме вертикальных.

Ответ: Нет, неверно.

2. Всегда ли прямая $y = kx + b$ пересекает обе оси координат?

Для того чтобы найти точки пересечения прямой с осями координат, нужно поочередно приравнять к нулю $x$ и $y$.

• Пересечение с осью ординат (OY):
  Для этого подставим $x = 0$ в уравнение прямой: $y = k \cdot 0 + b = b$.
  Точка пересечения с осью OY — $(0, b)$. Прямая всегда пересекает ось OY, так как $b$ — это константа.
• Пересечение с осью абсцисс (OX):
  Для этого подставим $y = 0$ в уравнение прямой: $0 = kx + b$, откуда $kx = -b$.

Рассмотрим возможные случаи для уравнения $kx = -b$:

• Если угловой коэффициент $k \neq 0$, то уравнение имеет единственное решение: $x = -\frac{b}{k}$. В этом случае прямая пересекает ось OX в точке $(-\frac{b}{k}, 0)$. Таким образом, при $k \neq 0$ прямая пересекает обе оси.
• Если угловой коэффициент $k = 0$, уравнение прямой принимает вид $y = b$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси OX.
  • Если при этом $b \neq 0$, то прямая (например, $y=3$) параллельна оси OX и никогда ее не пересекает. Она пересекает только ось OY.
  • Если $b = 0$, то уравнение становится $y = 0$. Эта прямая совпадает с осью OX. Она пересекает ось OY в точке $(0,0)$.

Следовательно, не всегда. Прямая $y = b$ при $k=0$ и $b \neq 0$ является контрпримером, так как она пересекает только ось OY.

Ответ: Нет, не всегда.

3. Верно ли, что значения функции $y=3x+1$ для всех значений аргумента положительны, а значения функции $y=-3x-1$ для всех значений аргумента отрицательны?

Данное утверждение состоит из двух частей. Проверим каждую из них.

Часть 1: Значения функции $y=3x+1$ всегда положительны.
Чтобы проверить это, найдем, при каких значениях $x$ функция $y$ может быть неположительной, то есть $y \le 0$.
$3x + 1 \le 0$
$3x \le -1$
$x \le -\frac{1}{3}$
Это означает, что для всех $x$, которые меньше или равны $-\frac{1}{3}$, значения функции будут неположительными. Например, найдем значение $x$, при котором $y = -4$:
$3x + 1 = -4$
$3x = -5$
$x = -\frac{5}{3} = -\mathbf{1}\frac{2}{3}$
При $x = -\mathbf{1}\frac{2}{3}$ значение функции равно $-4$, что является отрицательным числом. Следовательно, первая часть утверждения неверна.

Часть 2: Значения функции $y=-3x-1$ всегда отрицательны.
Аналогично, проверим, может ли эта функция принимать неотрицательные значения, то есть $y \ge 0$.
$-3x - 1 \ge 0$
$-3x \ge 1$
При делении на отрицательное число ($-3$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le -\frac{1}{3}$
Это означает, что для всех $x$, которые меньше или равны $-\frac{1}{3}$, значения функции будут неотрицательными. Например, возьмем тот же $x = -\frac{5}{3} = -\mathbf{1}\frac{2}{3}$:
$y = -3(-\frac{5}{3}) - 1 = 5 - 1 = 4$
При $x = -\mathbf{1}\frac{2}{3}$ значение функции равно $4$, что является положительным числом. Следовательно, вторая часть утверждения также неверна.

Поскольку обе части утверждения ложны, все утверждение в целом является неверным.

Ответ: Нет, неверно.