исследовательское задание 1, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Исследовательская задача 1. а) Известно, что $(1/a + a)^2 = 1/a^2 + a^2 + 2$. Пользуясь этим тождеством, найдите $1/a^2 + a^2$, если известно, что $1/a - a = 3$.

б) Составьте задачи, идея решения которых содержится в предыдущем задании. Выполните обобщение.

в) Сформулируйте обобщенный результат и составьте задачи на применение этого результата.

г) Предложите эти задачи друзьям.

а) Известно, что $(\frac{1}{a} + a)^2 = \frac{1}{a^2} + a^2 + 2$. Пользуясь этим тождеством, найдите $\frac{1}{a^2} + a^2$, если известно, что $\frac{1}{a} - a = 3$.

Для нахождения значения выражения $\frac{1}{a^2} + a^2$ удобно использовать не тождество для квадрата суммы, а связанное с ним тождество для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Нам дано равенство:

$\frac{1}{a} - a = 3$

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\frac{1}{a} - a)^2 = 3^2$

Используя формулу квадрата разности для левой части, получаем:

$(\frac{1}{a})^2 - 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot a + a^2 = 9$

Упростим произведение среднего члена:

$\frac{1}{a^2} - 2 + a^2 = 9$

Теперь, чтобы найти искомое выражение, перенесем $-2$ в правую часть уравнения:

$\frac{1}{a^2} + a^2 = 9 + 2$

$\frac{1}{a^2} + a^2 = 11$

Ответ: 11.

б) Составьте задачи, идея решения которых содержится в предыдущем задании. Выполните обобщение.

Идея решения заключается в том, что зная сумму или разность двух взаимно обратных чисел ($x$ и $\frac{1}{x}$), можно найти сумму их квадратов ($x^2 + \frac{1}{x^2}$), возведя в квадрат исходное выражение.

Примеры задач:

1. Если $x + \frac{1}{x} = 4$, найдите $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
2. Если $y - \frac{1}{y} = \sqrt{7}$, найдите $y^2 + \frac{1}{y^2}$.

Обобщение:

Если известно, что $x + \frac{1}{x} = k$, то, возведя обе части в квадрат, получаем: $(x + \frac{1}{x})^2 = k^2 \implies x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = k^2 \implies x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = k^2$. Отсюда следует формула: $x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2$.

Если известно, что $x - \frac{1}{x} = m$, то, аналогично: $(x - \frac{1}{x})^2 = m^2 \implies x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = m^2 \implies x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = m^2$. Отсюда следует формула: $x^2 + \frac{1}{x^2} = m^2 + 2$.

Ответ: Идея решения состоит в использовании формул сокращенного умножения для нахождения суммы квадратов взаимно обратных величин. Обобщенные формулы: если $x + \frac{1}{x} = k$, то $x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2$; если $x - \frac{1}{x} = m$, то $x^2 + \frac{1}{x^2} = m^2 + 2$.

в) Сформулируйте обобщенный результат и составьте задачи на применение этого результата.

Обобщенный результат:

Для любого ненулевого числа $x$ справедливы следующие соотношения:

• Зная сумму $x + \frac{1}{x} = k$, можно найти сумму квадратов: $x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2$.
• Зная разность $x - \frac{1}{x} = m$, можно найти сумму квадратов: $x^2 + \frac{1}{x^2} = m^2 + 2$.

Этот метод можно рекурсивно применять для нахождения сумм более высоких четных степеней (например, $x^4 + \frac{1}{x^4}$, $x^8 + \frac{1}{x^8}$ и т.д.), а также для нахождения сумм/разностей нечетных степеней.

Задачи на применение обобщенного результата:

1. Задача 1: Известно, что $x + \frac{1}{x} = 3$. Найдите $x^4 + \frac{1}{x^4}$.
2. Задача 2: Дано уравнение $x^2 - 7x + 1 = 0$. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$.
3. Задача 3 (повышенной сложности): Известно, что $y + \frac{1}{y} = 3$. Найдите $y^3 + \frac{1}{y^3}$. (Подсказка: рассмотрите $(y + \frac{1}{y})^3$).

Ответ: Сформулированы обобщенные результаты и составлены задачи на их применение, включая нахождение более высоких степеней и задачи, где исходное условие замаскировано в уравнении.

г) Предложите эти задачи друзьям.

Вот несколько задач на эту тему для самостоятельного решения. Попробуйте решить их с друзьями!

• Задача для разминки:
  Если $a - \frac{1}{a} = 5$, чему равно значение $a^2 + \frac{1}{a^2}$?
• Задача на два шага:
  Если $b + \frac{1}{b} = \sqrt{6}$, чему равно значение $b^4 + \frac{1}{b^4}$?
• Задача сообразительность:
  Если $c^2 - 4c - 1 = 0$, чему равно значение $c^2 + \frac{1}{c^2}$?

Ответ: Задачи разной сложности предложены для решения.