Номер 1, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Учительница попросила двух семиклассников подготовить раздаточный материал для занятий с пятиклассниками. Один ученик вырезал из бумаги один большой квадрат и четыре одинаковых маленьких квадрата, а другой вырезал четыре одинаковых прямоугольника, у которых длина одной стороны равна стороне большого квадрата, а длина другой стороны равна длине стороны маленького квадрата. Найдите отношение длин сторон прямоугольника, если мальчики использовали одинаковое количество бумаги.

Найдите отношение длин сторон прямоугольника, если мальчики использовали одинаковое количество бумаги.

Для решения задачи введем переменные, описывающие размеры фигур:

• Пусть $a$ — длина стороны большого квадрата.
• Пусть $b$ — длина стороны маленького квадрата.

Теперь рассчитаем общую площадь фигур, вырезанных каждым учеником.

Площадь фигур первого ученика:
Первый ученик вырезал один большой квадрат (площадью $a^2$) и четыре одинаковых маленьких квадрата (каждый площадью $b^2$).
Общая площадь $S_1$, которую он использовал, равна сумме площадей всех этих фигур: $$ S_1 = a^2 + 4b^2 $$

Площадь фигур второго ученика:
Второй ученик вырезал четыре одинаковых прямоугольника. По условию, длина одной стороны каждого прямоугольника равна стороне большого квадрата ($a$), а длина другой стороны — стороне маленького квадрата ($b$).
Площадь одного такого прямоугольника равна $a \cdot b$.
Общая площадь $S_2$ для четырех прямоугольников составляет: $$ S_2 = 4 \cdot (a \cdot b) = 4ab $$

Составление и решение уравнения:
В задаче сказано, что мальчики использовали одинаковое количество бумаги. Это означает, что общие площади вырезанных ими фигур равны: $$ S_1 = S_2 $$ Подставим выражения для площадей: $$ a^2 + 4b^2 = 4ab $$

Для решения этого уравнения перенесем все его члены в одну сторону: $$ a^2 - 4ab + 4b^2 = 0 $$

Полученное выражение является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$: $$ (a - 2b)^2 = 0 $$

Квадрат выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю: $$ a - 2b = 0 $$ Отсюда находим соотношение между сторонами $a$ и $b$: $$ a = 2b $$

Нахождение отношения длин сторон прямоугольника:
Стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Нам нужно найти их отношение. Найдем отношение большей стороны к меньшей: $$ \frac{a}{b} = \frac{2b}{b} = 2 $$ Таким образом, отношение длин сторон прямоугольника равно 2 (или 2 к 1).

Ответ: 2.