Номер 2, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Для решения задачи необходимо перевести все условия в математические уравнения и найти единственное возможное решение.

Пусть искомый номер квартиры — это двузначное число $N$.
Представим его в виде $N = 10d + u$, где:

• $d$ — цифра десятков, $d \in \{1, 2, ..., 9\}$
• $u$ — цифра единиц, $u \in \{0, 1, ..., 9\}$

Согласно условиям задачи:

1. $N$ является разностью квадратов двух чисел. Обозначим эти числа как $a$ и $b$, причем $a > b$. Тогда: $N = a^2 - b^2$
2. Меньшее из этих чисел, то есть $b$, равно цифре десятков номера квартиры ($d$) и одновременно вдвое больше цифры единиц ($u$). Отсюда получаем два ключевых соотношения:
   • $b = d$
   • $b = 2u$

Ответ: В этом пункте мы ввели переменные и формализовали условия задачи.

Из двух условий для числа $b$ следует, что $d = 2u$. Так как $d$ — это цифра десятков, она не может быть нулем ($d \ge 1$), следовательно, $u$ также не может быть нулем. Кроме того, $d$ должно быть четным числом.

Подставим $d = 2u$ в формулу для номера квартиры $N$:
$N = 10d + u = 10(2u) + u = 20u + u = 21u$

Теперь подставим полученные выражения для $N$ и $b$ в уравнение разности квадратов:
$N = a^2 - b^2$
$21u = a^2 - (2u)^2$
$21u = a^2 - 4u^2$

Выразим $a^2$:
$a^2 = 21u + 4u^2 = u(21 + 4u)$

Поскольку $a$ должно быть целым числом, выражение $u(21 + 4u)$ должно быть полным квадратом.

Ответ: Мы получили ключевое уравнение $a^2 = u(21 + 4u)$ для поиска решения.

Мы знаем, что $d$ — это цифра от 1 до 9. Так как $d = 2u$, то $1 \le 2u \le 9$. Это дает нам ограничение для $u$: $0.5 \le u \le 4.5$. Поскольку $u$ — целая цифра, возможные значения для $u$ это $\{1, 2, 3, 4\}$.

Проверим каждое возможное значение $u$:

• При $u=1$:
  $d = 2 \cdot 1 = 2$.
  Номер квартиры $N = 10(2) + 1 = 21$.
  Проверяем, является ли $a^2 = u(21+4u)$ полным квадратом:
  $a^2 = 1(21 + 4 \cdot 1) = 25 = 5^2$.
  Да, $a=5$. Это решение подходит. Меньшее число $b=d=2$. $N = 21 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4$.
• При $u=2$:
  $d = 2 \cdot 2 = 4$.
  Номер квартиры $N = 10(4) + 2 = 42$.
  Проверяем $a^2$:
  $a^2 = 2(21 + 4 \cdot 2) = 2(21 + 8) = 2 \cdot 29 = 58$.
  58 не является полным квадратом. Решение не подходит.
• При $u=3$:
  $d = 2 \cdot 3 = 6$.
  Номер квартиры $N = 10(6) + 3 = 63$.
  Проверяем $a^2$:
  $a^2 = 3(21 + 4 \cdot 3) = 3(21 + 12) = 3 \cdot 33 = 99$.
  99 не является полным квадратом. Решение не подходит.
• При $u=4$:
  $d = 2 \cdot 4 = 8$.
  Номер квартиры $N = 10(8) + 4 = 84$.
  Проверяем $a^2$:
  $a^2 = 4(21 + 4 \cdot 4) = 4(21 + 16) = 4 \cdot 37 = 148$.
  148 не является полным квадратом. Решение не подходит.

Единственный случай, удовлетворяющий всем условиям, — это $u=1$.

Ответ: В результате перебора найден единственный возможный вариант для цифры единиц, равный 1.

Поскольку мы нашли единственное решение, восстановить номер квартиры возможно.

• Цифра единиц: $u = 1$.
• Цифра десятков: $d = 2u = 2$.
• Номер квартиры: $N = 21$.

Проверим все условия для номера 21:

1. Это двузначное число. (Верно)
2. Меньшее число $b$ равно цифре десятков (2) и вдвое больше цифры единиц ($2 \cdot 1 = 2$). (Верно, $b=2$)
3. Номер квартиры является разностью квадратов: $21 = a^2 - b^2 = a^2 - 2^2$. Отсюда $a^2 = 25$, значит $a=5$. (Верно, $21 = 5^2 - 2^2$)

Все условия выполнены, и решение единственно. Следовательно, по этим данным можно восстановить номер квартиры.

Ответ: 21