вопросы, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Найдите ошибку в предложении: «Уравнения, имеющие одинаковые корни, называются равносильными».

2. Некоторое уравнение имеет один корень. Обе части этого уравнения умножили на 3, а затем к обеим частям прибавили 5, получили новое уравнение. Можно ли определить, сколько корней имеет полученное уравнение?

1. Найдите ошибку в предложении: «Уравнения, имеющие одинаковые корни, называются равносильными».

Данное определение является неполным и неточным. Ошибка заключается в следующем:

Во-первых, равносильными называются уравнения, у которых множества корней полностью совпадают. Формулировка «имеющие одинаковые корни» может быть истолкована неверно. Например, уравнения $ (x-5)(x+2) = 0 $ (корни $x=5$ и $x=-2$) и $ x-5=0 $ (корень $x=5$) имеют одинаковый корень $x=5$, но они не являются равносильными, так как множества их корней, $\{5, -2\}$ и $\{5\}$, не совпадают.

Во-вторых, это определение не охватывает случай уравнений, которые не имеют корней. Два уравнения, не имеющие корней, также являются равносильными, поскольку множество корней у каждого из них – это пустое множество ($ \emptyset $), и эти множества совпадают. Например, уравнения $ x^2 = -1 $ и $ x^2 = -10 $ равносильны (в множестве действительных чисел), так как оба не имеют корней.

Корректное определение: «Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают».

Ответ: Ошибка в том, что определение не уточняет, что множества корней должны полностью совпадать, а также не учитывает случай, когда уравнения равносильны из-за отсутствия корней у каждого из них.

2. Некоторое уравнение имеет один корень. Обе части этого уравнения умножили на 3, а затем к обеим частям прибавили 5, получили новое уравнение. Можно ли определить, сколько корней имеет полученное уравнение?

Да, можно определить количество корней полученного уравнения.

Пусть исходное уравнение имеет вид $ f(x) = g(x) $ и, по условию, имеет единственный корень $ x_0 $. Это означает, что равенство $ f(x_0) = g(x_0) $ является верным, и только для этого значения $x$.

Преобразования, которые были выполнены с уравнением:

1. Умножение обеих частей уравнения на число 3.
2. Прибавление к обеим частям уравнения числа 5.

Оба этих преобразования являются равносильными (или тождественными). Равносильные преобразования — это преобразования, которые не изменяют множество корней уравнения.

• Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю ($3 \neq 0$), является равносильным преобразованием.
• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа (или выражения) также является равносильным преобразованием.

Последовательность преобразований выглядит так:

1. Исходное уравнение: $ f(x) = g(x) $. Оно имеет 1 корень.
2. Умножаем на 3: $ 3 \cdot f(x) = 3 \cdot g(x) $. Это уравнение равносильно исходному, и оно также имеет 1 корень.
3. Прибавляем 5: $ 3 \cdot f(x) + 5 = 3 \cdot g(x) + 5 $. Это уравнение равносильно предыдущему, и, следовательно, оно также имеет 1 корень.

Так как исходное уравнение имело один корень, а все выполненные преобразования являются равносильными, то и конечное уравнение будет иметь ровно один корень.

Ответ: Да, можно. Полученное уравнение будет иметь 1 корень.