Номер 3.9, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.9. Придумайте по два примера линейных уравнений, для которых числа $a$ и $b$ являются:

а) противоположными;

б) взаимно обратными.

Будем рассматривать линейные уравнения вида $ax+b=0$. Коэффициенты $a$ и $b$ в этом уравнении являются противоположными числами, если они равны по модулю, но имеют разные знаки, то есть $b = -a$.

В этом случае уравнение принимает вид $ax - a = 0$. При $a \neq 0$ можно перенести $a$ в правую часть и разделить обе части на $a$, что всегда приводит к одному и тому же корню: $ax = a \implies x=1$.

Пример 1:
Пусть $a = 8$, тогда противоположное ему число $b = -8$. Составим и решим уравнение:$8x - 8 = 0$$8x = 8$$x = \frac{8}{8} = 1$

Пример 2:
Пусть $a = -\frac{2}{3}$, тогда противоположное ему число $b = \frac{2}{3}$. Составим и решим уравнение:$-\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} = 0$$-\frac{2}{3}x = -\frac{2}{3}$$x = 1$

Ответ: Примерами уравнений, в которых коэффициенты $a$ и $b$ являются противоположными числами, служат $8x - 8 = 0$ и $-\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} = 0$.

Коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении $ax+b=0$ являются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть $b = \frac{1}{a}$ (при $a \neq 0$).

Уравнение принимает вид $ax + \frac{1}{a} = 0$. Решение такого уравнения: $ax = -\frac{1}{a} \implies x = -\frac{1}{a^2}$.

Пример 1:
Пусть $a = 5$, тогда взаимно обратное ему число $b = \frac{1}{5}$. Составим и решим уравнение:$5x + \frac{1}{5} = 0$$5x = -\frac{1}{5}$$x = -\frac{1}{5} \div 5 = -\frac{1}{25}$

Пример 2:
Пусть $a = \frac{3}{4}$, тогда взаимно обратное ему число $b = \frac{4}{3}$. Составим и решим уравнение:$\frac{3}{4}x + \frac{4}{3} = 0$$\frac{3}{4}x = -\frac{4}{3}$$x = -\frac{4}{3} \div \frac{3}{4} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{16}{9}$
Полученная дробь является неправильной. Выделим из неё целую часть:$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9}$

Ответ: Примерами уравнений, в которых коэффициенты $a$ и $b$ являются взаимно обратными числами, служат $5x + \frac{1}{5} = 0$ (корень $x = -\frac{1}{25}$) и $\frac{3}{4}x + \frac{4}{3} = 0$ (корень $x = -1\frac{7}{9}$).