Номер 3.11, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.11. Из данных уравнений выберите уравнения, равносильные уравнению $x-2=3-2x$:

а) $2-x=2x-3$;

б) $5(x-2)=5(3-2x)$;

в) $\frac{x-2}{4}=\frac{3-2x}{4}$;

г) $x-2x=3-2$.

Придумайте еще два примера уравнений, равносильных данному.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Чтобы определить, какие из предложенных уравнений равносильны исходному уравнению $x-2=3-2x$, найдем корень исходного уравнения, а затем проверим, является ли он корнем для каждого из предложенных уравнений. Равносильные преобразования (перенос слагаемых, умножение/деление обеих частей на одно и то же ненулевое число) приводят к равносильным уравнениям.

Решим исходное уравнение:

$x - 2 = 3 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$x + 2x = 3 + 2$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Корень исходного уравнения равен $\frac{5}{3}$. Теперь проверим каждое из предложенных уравнений.

а) $2 - x = 2x - 3$

Это уравнение можно получить из исходного $x - 2 = 3 - 2x$, умножив обе его части на -1. Такое преобразование является равносильным.

Решим это уравнение для проверки:

$2 + 3 = 2x + x$

$5 = 3x$

$x = \frac{5}{3}$

Корень уравнения совпадает с корнем исходного уравнения. Следовательно, уравнения равносильны. Ответ: 1

б) $5(x - 2) = 5(3 - 2x)$

Это уравнение получено умножением обеих частей исходного уравнения на 5. Это равносильное преобразование, значит, уравнение равносильно исходному.

Решим это уравнение для проверки:

Разделим обе части на 5:

$x - 2 = 3 - 2x$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Корень совпадает с корнем исходного уравнения. Следовательно, уравнения равносильны. Ответ: 1

в) $\frac{x-2}{4} = \frac{3-2x}{4}$

Это уравнение получено делением обеих частей исходного уравнения на 4. Это равносильное преобразование, значит, уравнение равносильно исходному.

Решим это уравнение для проверки:

Умножим обе части на 4:

$x - 2 = 3 - 2x$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Корень совпадает с корнем исходного уравнения. Следовательно, уравнения равносильны. Ответ: 1

г) $x - 2x = 3 - 2$

Решим данное уравнение:

$-x = 1$

$x = -1$

Корень этого уравнения $x = -1$ не совпадает с корнем исходного уравнения $x = \frac{5}{3}$. Следовательно, это уравнение не является равносильным исходному.

Придумайте еще два примера уравнений, равносильных данному.

Чтобы составить равносильное уравнение, можно выполнить любое равносильное преобразование над исходным уравнением $x - 2 = 3 - 2x$ или его упрощенной формой $3x = 5$.

1. Возьмем упрощенную форму $3x = 5$ и вычтем из обеих частей 5.
   $3x - 5 = 5 - 5$
   $3x - 5 = 0$
   Это уравнение равносильно исходному, его корень также $x = \frac{5}{3}$.
2. Возьмем исходное уравнение $x - 2 = 3 - 2x$ и поменяем местами его левую и правую части.
   $3 - 2x = x - 2$
   Это также равносильное преобразование, и уравнение будет иметь тот же корень $x = \frac{5}{3}$.