Номер 4.47, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.47*. Укажите точки первой координатной четверти с целыми координатами, принадлежащие прямой $2x + 5y = 19$. Дайте ответ, не выполняя построения.

Необходимо найти точки с целыми координатами, которые принадлежат прямой $2x + 5y = 19$ и расположены в первой координатной четверти. Это означает, что мы ищем решения уравнения в целых положительных числах ($x > 0, y > 0$).

Данное уравнение является линейным диофантовым уравнением. Для его решения выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $x$ через $y$:
$2x = 19 - 5y$
$x = \frac{19 - 5y}{2}$

Поскольку по условию $x$ должен быть целым числом, числитель дроби $(19 - 5y)$ должен быть четным, то есть делиться на 2 без остатка.

• Число 19 является нечетным.
• Чтобы разность $(19 - 5y)$ была четной, вычитаемое $5y$ также должно быть нечетным (так как нечетное - нечетное = четное).
• Произведение $5y$ будет нечетным только в том случае, если множитель $y$ является нечетным числом.

Точки должны лежать в первой координатной четверти, поэтому их координаты должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$.
Рассмотрим неравенство $x > 0$:
$\frac{19 - 5y}{2} > 0$
Так как знаменатель положителен, то и числитель должен быть положителен:
$19 - 5y > 0$
$19 > 5y$
$y < \frac{19}{5}$

Теперь выделим целую часть из неправильной дроби, чтобы определить границу для $y$:
$y < 3\frac{4}{5}$

Соберем все условия для $y$:

1. $y$ — целое положительное число ($y \ge 1$).
2. $y$ — нечетное число.
3. $y < 3\frac{4}{5}$.

Этим трем условиям удовлетворяют только два значения: $y = 1$ и $y = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого случая:

1) При $y = 1$:
$x = \frac{19 - 5 \cdot 1}{2} = \frac{19 - 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
Получаем точку $(7, 1)$.

2) При $y = 3$:
$x = \frac{19 - 5 \cdot 3}{2} = \frac{19 - 15}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Получаем точку $(2, 3)$.

Таким образом, существуют две точки с целыми координатами в первой координатной четверти, принадлежащие данной прямой.
Ответ: $(7, 1)$ и $(2, 3)$.