Номер 1.188, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.188. Упростите выражение, используя вынесение множителя за знак корня:

а) $4\sqrt{50};$

б) $\frac{1}{3}\sqrt{99};$

в) $0,4\sqrt{75};$

г) $\frac{\sqrt{125}}{15};$

д) $-0,5\sqrt{8};$

е) $-\frac{3}{4}\sqrt{160};$

ж) $-\frac{\sqrt{96}}{8};$

з) $-3,5\sqrt{32}.$

а) Чтобы упростить выражение $4\sqrt{50}$, вынесем множитель из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение $50$ в виде произведения множителей, один из которых является наибольшим возможным полным квадратом.
$50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$.
Теперь вынесем множитель за знак корня:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$4\sqrt{50} = 4 \cdot (5\sqrt{2}) = (4 \cdot 5)\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Ответ: $20\sqrt{2}$.

б) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{3}\sqrt{99}$, представим подкоренное выражение $99$ в виде произведения множителей, выделив полный квадрат.
$99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} = 3\sqrt{11}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение и выполним умножение:
$\frac{1}{3}\sqrt{99} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{11} = \frac{3}{3}\sqrt{11} = \sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{11}$.

в) Чтобы упростить выражение $0,4\sqrt{75}$, представим подкоренное выражение $75$ в виде произведения множителей, выделив полный квадрат.
$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение и умножим:
$0,4\sqrt{75} = 0,4 \cdot 5\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

г) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{125}}{15}$, сначала вынесем множитель из-под знака корня в числителе. Представим $125$ в виде произведения с полным квадратом.
$125 = 25 \cdot 5 = 5^2 \cdot 5$.
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{125}}{15} = \frac{5\sqrt{5}}{15}$.
Сократим дробь на 5:
$\frac{5\sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{3}$.

д) Чтобы упростить выражение $-0,5\sqrt{8}$, представим подкоренное выражение $8$ в виде произведения множителей, выделив полный квадрат.
$8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$-0,5\sqrt{8} = -0,5 \cdot 2\sqrt{2} = -1\sqrt{2} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$.

е) Чтобы упростить выражение $-\frac{3}{4}\sqrt{160}$, представим подкоренное выражение $160$ в виде произведения множителей, выделив полный квадрат.
$160 = 16 \cdot 10 = 4^2 \cdot 10$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$-\frac{3}{4}\sqrt{160} = -\frac{3}{4} \cdot 4\sqrt{10} = -3\sqrt{10}$.
Ответ: $-3\sqrt{10}$.

ж) Чтобы упростить выражение $-\frac{\sqrt{96}}{8}$, сначала вынесем множитель из-под знака корня в числителе. Представим $96$ в виде произведения с полным квадратом.
$96 = 16 \cdot 6 = 4^2 \cdot 6$.
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.
Теперь подставим это в исходную дробь:
$-\frac{\sqrt{96}}{8} = -\frac{4\sqrt{6}}{8}$.
Сократим дробь на 4:
$-\frac{4\sqrt{6}}{8} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$.

з) Чтобы упростить выражение $-3,5\sqrt{32}$, представим подкоренное выражение $32$ в виде произведения множителей, выделив полный квадрат.
$32 = 16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$-3,5\sqrt{32} = -3,5 \cdot 4\sqrt{2} = -14\sqrt{2}$.
Ответ: $-14\sqrt{2}$.