Номер 1.192, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.192. Вынесите множитель за знак корня:

a) $\sqrt{25m^2n}$, если $m < 0$;

б) $\sqrt{18x^6y^3}$, если $x \le 0$;

в) $\sqrt{200a^8b^2}$, если $b < 0$;

г) $\sqrt{2,56c^3d^5}$, если $c < 0, d < 0$.

Для того чтобы вынести множитель за знак корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения множителей, некоторые из которых являются полными квадратами. Затем используется свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, после чего модуль раскрывается с учетом заданных условий для переменных.

а) $\sqrt{25m^2n}$, если $m < 0$

1. Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты:
$25m^2n = 5^2 \cdot m^2 \cdot n = (5m)^2 \cdot n$

2. Применим свойства корня:
$\sqrt{25m^2n} = \sqrt{(5m)^2 \cdot n} = \sqrt{(5m)^2} \cdot \sqrt{n}$

3. Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(5m)^2} \cdot \sqrt{n} = |5m|\sqrt{n}$

4. Раскроем модуль. По условию $m < 0$. Произведение $5m$ также будет отрицательным. По определению модуля, $|a| = -a$, если $a < 0$.
Следовательно, $|5m| = -5m$.

5. Подставляем полученное выражение:
$-5m\sqrt{n}$

Заметим, что для существования корня необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $25m^2n \ge 0$. Так как $25m^2 \ge 0$ для любого $m$, то должно выполняться условие $n \ge 0$.

Ответ: $-5m\sqrt{n}$

б) $\sqrt{18x^6y^3}$, если $x \le 0$

1. Разложим подкоренное выражение:
$18x^6y^3 = 9 \cdot 2 \cdot x^6 \cdot y^2 \cdot y = 3^2 \cdot (x^3)^2 \cdot y^2 \cdot 2y$

2. Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{18x^6y^3} = \sqrt{9 \cdot (x^3)^2 \cdot y^2 \cdot 2y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(x^3)^2} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{2y} = 3|x^3||y|\sqrt{2y}$

3. Раскроем модули с учетом условий. Подкоренное выражение $18x^6y^3$ должно быть неотрицательно. Так как $18x^6 \ge 0$, то $y^3 \ge 0$, что означает $y \ge 0$. Следовательно, $|y| = y$. По условию $x \le 0$. Тогда $x^3 \le 0$. Следовательно, $|x^3| = -x^3$.

4. Подставляем раскрытые модули в выражение:
$3(-x^3)(y)\sqrt{2y} = -3x^3y\sqrt{2y}$

Ответ: $-3x^3y\sqrt{2y}$

в) $\sqrt{200a^8b^2}$, если $b < 0$

1. Разложим подкоренное выражение:
$200a^8b^2 = 100 \cdot 2 \cdot a^8 \cdot b^2 = 10^2 \cdot (a^4)^2 \cdot b^2 \cdot 2$

2. Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{200a^8b^2} = \sqrt{100 \cdot (a^4)^2 \cdot b^2 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{(a^4)^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{2} = 10|a^4||b|\sqrt{2}$

3. Раскроем модули. Выражение $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$), поэтому $|a^4| = a^4$. По условию $b < 0$, поэтому $|b| = -b$.

4. Подставляем полученные выражения:
$10(a^4)(-b)\sqrt{2} = -10a^4b\sqrt{2}$

Ответ: $-10a^4b\sqrt{2}$

г) $\sqrt{2,56c^3d^5}$, если $c < 0, d < 0$

1. Разложим подкоренное выражение:
$2,56c^3d^5 = 1,6^2 \cdot c^2 \cdot c \cdot d^4 \cdot d = 1,6^2 \cdot c^2 \cdot (d^2)^2 \cdot (cd)$

2. Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{2,56c^2d^4 \cdot cd} = \sqrt{1,6^2 \cdot c^2 \cdot (d^2)^2} \cdot \sqrt{cd} = 1,6|c||d^2|\sqrt{cd}$

3. Раскроем модули. По условию $c < 0$ и $d < 0$. Так как $c < 0$, то $|c| = -c$. Выражение $d^2$ всегда неотрицательно. Так как $d < 0$, то $d^2 > 0$, поэтому $|d^2| = d^2$. Для существования корня $\sqrt{cd}$, произведение $cd$ должно быть неотрицательным. Так как $c < 0$ и $d < 0$, их произведение $cd > 0$, что удовлетворяет условию.

4. Подставляем раскрытые модули в выражение:
$1,6(-c)(d^2)\sqrt{cd} = -1,6cd^2\sqrt{cd}$

Ответ: $-1,6cd^2\sqrt{cd}$