Номер 1.197, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.197. В выражении $m\sqrt{3}$ внесите множитель под знак корня, если:

а) $m \ge 0$;

б) $m < 0$.

Чтобы внести множитель $m$ под знак корня в выражении $m\sqrt{3}$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака множителя $m$. Это связано с тем, что арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ по определению является неотрицательным числом, а $\sqrt{x^2} = |x|$.

a) $m \ge 0$
Если множитель $m$ является неотрицательным числом, то его можно представить в виде квадратного корня из его квадрата, то есть $m = \sqrt{m^2}$.
Подставим это представление в исходное выражение и воспользуемся свойством произведения корней ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$):$$m\sqrt{3} = \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{m^2 \cdot 3} = \sqrt{3m^2}$$Поскольку $m \ge 0$, исходное выражение $m\sqrt{3}$ также неотрицательно, как и полученное $\sqrt{3m^2}$.
Ответ: $\sqrt{3m^2}$.

б) $m < 0$
Если множитель $m$ является отрицательным числом, то исходное выражение $m\sqrt{3}$ также будет отрицательным (как произведение отрицательного и положительного чисел). Поэтому при внесении множителя под знак корня необходимо сохранить знак "минус" перед корнем.
Представим отрицательное число $m$ как $m = -|m|$. Поскольку $|m|$ — положительное число, мы можем записать $|m| = \sqrt{|m|^2}$. Так как $|m|^2 = m^2$, получаем $|m| = \sqrt{m^2}$.
Теперь преобразуем выражение:$$m\sqrt{3} = (-|m|)\sqrt{3} = -(|m|\sqrt{3})$$Вносим положительный множитель $|m|$ под знак корня:$$-(|m|\sqrt{3}) = -(\sqrt{m^2}\sqrt{3}) = -\sqrt{m^2 \cdot 3} = -\sqrt{3m^2}$$Полученное выражение $-\sqrt{3m^2}$ отрицательно, что соответствует знаку исходного выражения.
Ответ: $-\sqrt{3m^2}$.