Номер 1.193, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.193. Вынесите множитель за знак корня:

а) $ \sqrt{a^3} $;

б) $ \sqrt{-b^5} $;

в) $ \sqrt{x^7 y^8} $;

г) $ \sqrt{-3k^7} $.

Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, мы представляем степень подкоренного выражения $n$ в виде $n = 2q + r$, где $q$ — это целая часть от деления показателя степени $n$ на 2 (показатель степени, который выносится за корень), а $r$ — остаток (показатель степени, который остается под корнем). Мы используем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$) и правило $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$. Важно также учитывать область допустимых значений (ОДЗ), чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^3 \ge 0$. Это выполняется при $a \ge 0$.
2. Представим степень $a^3$ в виде произведения, где один из множителей имеет максимально возможную четную степень. В данном случае, $3 = 2 \cdot 1 + 1$. $a^3 = a^2 \cdot a^1 = a^2 \cdot a$.
3. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a}$.
4. Извлечем корень из $a^2$: $\sqrt{a^2} = |a|$. Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $a \ge 0$, то $|a| = a$.
5. Итоговый результат: $a \sqrt{a}$.

Ответ: $a\sqrt{a}$.

1. ОДЗ: $-b^5 \ge 0$, что эквивалентно $b^5 \le 0$. Это выполняется при $b \le 0$.
2. Представим подкоренное выражение в виде произведения с множителем в четной степени. Показатель степени $5 = 2 \cdot 2 + 1$. $-b^5 = (-1) \cdot b^5 = (-1) \cdot b \cdot b^4 = (-b) \cdot b^4$. Заметим, что так как $b \le 0$, то $-b \ge 0$. Выражение $(-b) \cdot b^4$ является произведением двух неотрицательных чисел, поэтому мы можем применять свойство корня.
3. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{-b^5} = \sqrt{b^4 \cdot (-b)} = \sqrt{b^4} \cdot \sqrt{-b}$.
4. Извлечем корень из $b^4$: $\sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = |b^2|$. Поскольку $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$), то $|b^2| = b^2$.
5. Итоговый результат: $b^2 \sqrt{-b}$.

Ответ: $b^2\sqrt{-b}$.

1. ОДЗ: $x^7 y^8 \ge 0$. Множитель $y^8 = (y^4)^2$ всегда неотрицателен. Значит, знак всего выражения зависит от $x^7$. Требуется $x^7 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$. Переменная $y$ может быть любым действительным числом.
2. Представим степени с нечетными показателями в виде произведения: $x^7 = x^6 \cdot x$ (так как $7 = 2 \cdot 3 + 1$). $y^8$ уже имеет четную степень ($8 = 2 \cdot 4 + 0$). Подкоренное выражение: $x^7 y^8 = x^6 \cdot y^8 \cdot x$.
3. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{x^7 y^8} = \sqrt{x^6 \cdot y^8 \cdot x} = \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^8} \cdot \sqrt{x}$.
4. Извлечем корни из множителей с четными степенями: $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. Так как $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, и $|x^3| = x^3$. $\sqrt{y^8} = \sqrt{(y^4)^2} = |y^4|$. Так как $y^4 \ge 0$ для любого $y$, то $|y^4| = y^4$.
5. Итоговый результат: $x^3 y^4 \sqrt{x}$.

Ответ: $x^3y^4\sqrt{x}$.

1. ОДЗ: $-3k^7 \ge 0$, что эквивалентно $3k^7 \le 0$, или $k^7 \le 0$. Это выполняется при $k \le 0$.
2. Представим подкоренное выражение в виде произведения. Число 3 остается под корнем. Для переменной $k$ показатель степени $7 = 2 \cdot 3 + 1$. $-3k^7 = 3 \cdot (-k^7) = 3 \cdot k^6 \cdot (-k)$. Так как $k \le 0$, множитель $(-k)$ неотрицателен. Множитель $k^6$ также неотрицателен.
3. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{-3k^7} = \sqrt{k^6 \cdot (-3k)} = \sqrt{k^6} \cdot \sqrt{-3k}$.
4. Извлечем корень из $k^6$: $\sqrt{k^6} = \sqrt{(k^3)^2} = |k^3|$. Из ОДЗ мы знаем, что $k \le 0$. При $k < 0$, $k^3 < 0$. При $k=0$, $k^3=0$. В обоих случаях $k^3 \le 0$. Поэтому, по определению модуля, $|k^3| = -k^3$.
5. Итоговый результат: $-k^3 \sqrt{-3k}$.

Ответ: $-k^3\sqrt{-3k}$.