Номер 1.383, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.383. Решите совокупность неравенств:

а) $\begin{cases}x \le 4, \\x < 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x > 6, \\x \ge 5;\end{cases}$

в) $\begin{cases}x < 8, \\x > -5;\end{cases}$

г) $\begin{cases}x \le 3, \\x \ge 7.\end{cases}$

а) Дана совокупность неравенств: $\left[\begin{array}{l}x \le 4, \\ x < 1;\end{array}\right.$

Решить совокупность неравенств — значит найти объединение множеств решений каждого из неравенств. Решением будет множество всех значений переменной, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств.

1. Множество решений первого неравенства $x \le 4$ на числовой прямой представляет собой луч $(-\infty; 4]$.

2. Множество решений второго неравенства $x < 1$ представляет собой луч $(-\infty; 1)$.

Объединение этих двух множеств — это $(-\infty; 4] \cup (-\infty; 1)$. Поскольку луч $(-\infty; 1)$ полностью содержится внутри луча $(-\infty; 4]$, их объединением будет более широкий луч $(-\infty; 4]$.

Ответ: $x \le 4$.

б) Дана совокупность неравенств: $\left[\begin{array}{l}x > 6, \\ x \ge 5;\end{array}\right.$

Решение совокупности — это объединение множеств решений каждого из неравенств.

1. Множество решений первого неравенства $x > 6$ — это открытый луч $(6; +\infty)$.

2. Множество решений второго неравенства $x \ge 5$ — это луч $[5; +\infty)$.

Объединение этих двух множеств — это $(6; +\infty) \cup [5; +\infty)$. Поскольку открытый луч $(6; +\infty)$ полностью содержится внутри луча $[5; +\infty)$, их объединением будет более широкий луч $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \ge 5$.

в) Дана совокупность неравенств: $\left[\begin{array}{l}x < 8, \\ x > -5;\end{array}\right.$

Решение совокупности — это объединение множеств решений каждого из неравенств.

1. Множество решений первого неравенства $x < 8$ — это открытый луч $(-\infty; 8)$.

2. Множество решений второго неравенства $x > -5$ — это открытый луч $(-5; +\infty)$.

Объединение этих двух множеств — это $(-\infty; 8) \cup (-5; +\infty)$. Первое множество покрывает всю числовую прямую левее 8, а второе — всю числовую прямую правее -5. Вместе они покрывают всю числовую прямую целиком.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число).

г) Дана совокупность неравенств: $\left[\begin{array}{l}x \le 3, \\ x \ge 7.\end{array}\right.$

Решение совокупности — это объединение множеств решений каждого из неравенств.

1. Множество решений первого неравенства $x \le 3$ — это луч $(-\infty; 3]$.

2. Множество решений второго неравенства $x \ge 7$ — это луч $[7; +\infty)$.

Объединение этих двух множеств — это $(-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$. Эти два промежутка не пересекаются, поэтому решением является их объединение.

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$.