Номер 1.384, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.384. Решите совокупность неравенств, используя алго-ритм:

a) $\begin{cases} 15 - 3x < 0, \\ 4x \le 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2(x - 1) - 3 > 3x - 5, \\ 3(x + 1) - 7x \ge 8 - 6x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4(x + 1) - x \le 2(x - 5) - 3, \\ 5(x + 1) - 2 \ge 5(2x - 1) + 1. \end{cases}$

а) Решим данную совокупность неравенств. Для этого нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти объединение их решений.

1. Решаем первое неравенство:

$15 - 3x < 0$

Переносим 15 в правую часть:

$-3x < -15$

Делим обе части на -3, при этом меняем знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-15}{-3}$

$x > 5$

Решение первого неравенства в виде интервала: $(5; +\infty)$.

2. Решаем второе неравенство:

$4x \le 8$

Делим обе части на 4:

$x \le \frac{8}{4}$

$x \le 2$

Решение второго неравенства в виде интервала: $(-\infty; 2]$.

3. Находим объединение решений. Решением совокупности является множество всех чисел, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств, то есть объединение найденных интервалов:

$(-\infty; 2] \cup (5; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup (5; +\infty)$.

б) Решим каждое неравенство совокупности отдельно.

1. Решаем первое неравенство:

$2(x - 1) - 3 > 3x - 5$

Раскрываем скобки:

$2x - 2 - 3 > 3x - 5$

$2x - 5 > 3x - 5$

Переносим слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2x - 3x > -5 + 5$

$-x > 0$

Умножаем обе части на -1, меняя знак неравенства:

$x < 0$

Решение первого неравенства: $(-\infty; 0)$.

2. Решаем второе неравенство:

$3(x + 1) - 7x \ge 8 - 6x$

Раскрываем скобки:

$3x + 3 - 7x \ge 8 - 6x$

$-4x + 3 \ge 8 - 6x$

Переносим слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$-4x + 6x \ge 8 - 3$

$2x \ge 5$

$x \ge \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Таким образом, $x \ge 2\frac{1}{2}$.

Решение второго неравенства: $[2\frac{1}{2}; +\infty)$.

3. Объединяем решения обоих неравенств:

$(-\infty; 0) \cup [2\frac{1}{2}; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [2\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) Решим каждое неравенство совокупности отдельно.

1. Решаем первое неравенство:

$4(x + 1) - x \le 2(x - 5) - 3$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$4x + 4 - x \le 2x - 10 - 3$

$3x + 4 \le 2x - 13$

Переносим слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$3x - 2x \le -13 - 4$

$x \le -17$

Решение первого неравенства: $(-\infty; -17]$.

2. Решаем второе неравенство:

$5(x + 1) - 2 \ge 5(2x - 1) + 1$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$5x + 5 - 2 \ge 10x - 5 + 1$

$5x + 3 \ge 10x - 4$

Переносим слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$5x - 10x \ge -4 - 3$

$-5x \ge -7$

Делим обе части на -5, меняя знак неравенства:

$x \le \frac{-7}{-5}$

$x \le \frac{7}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.

Таким образом, $x \le 1\frac{2}{5}$.

Решение второго неравенства: $(-\infty; 1\frac{2}{5}]$.

3. Находим объединение решений. Нам нужно найти множество $x$, для которых верно $x \le -17$ или $x \le 1\frac{2}{5}$. Поскольку $-17$ меньше, чем $1\frac{2}{5}$, то любое число, которое меньше или равно -17, также будет меньше или равно $1\frac{2}{5}$. Это означает, что множество решений $(-\infty; -17]$ полностью содержится в множестве решений $(-\infty; 1\frac{2}{5}]$. Объединением этих двух множеств будет большее из них.

$(-\infty; -17] \cup (-\infty; 1\frac{2}{5}] = (-\infty; 1\frac{2}{5}]$

Ответ: $x \in (-\infty; 1\frac{2}{5}]$.