Номер 1.388, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.388. Решите двойное неравенство:

a) $-7 < \frac{3x+1}{5} \leq 0$;

б) $2 \leq \frac{2-7x}{3} < 9$.

а) Дано двойное неравенство:

$ -7 < \frac{3x+1}{5} \le 0 $

Для его решения будем выполнять одинаковые операции со всеми тремя частями неравенства.

1. Умножим все части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$ -7 \cdot 5 < \frac{3x+1}{5} \cdot 5 \le 0 \cdot 5 $

$ -35 < 3x + 1 \le 0 $

2. Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$ -35 - 1 < 3x + 1 - 1 \le 0 - 1 $

$ -36 < 3x \le -1 $

3. Разделим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$ \frac{-36}{3} < \frac{3x}{3} \le \frac{-1}{3} $

$ -12 < x \le -\frac{1}{3} $

Таким образом, решение можно записать в виде интервала $ (-12, -\frac{1}{3}] $.

Ответ: $ x \in (-12, -\frac{1}{3}] $.

б) Дано двойное неравенство:

$ 2 \le \frac{2-7x}{3} < 9 $

1. Умножим все части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется:

$ 2 \cdot 3 \le \frac{2-7x}{3} \cdot 3 < 9 \cdot 3 $

$ 6 \le 2 - 7x < 27 $

2. Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$ 6 - 2 \le 2 - 7x - 2 < 27 - 2 $

$ 4 \le -7x < 25 $

3. Разделим все части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$ \frac{4}{-7} \ge \frac{-7x}{-7} > \frac{25}{-7} $

$ -\frac{4}{7} \ge x > -\frac{25}{7} $

4. Для удобства записи перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$ -\frac{25}{7} < x \le -\frac{4}{7} $

5. В полученном ответе есть неправильная дробь $ -\frac{25}{7} $. Выделим из нее целую часть:

$ -\frac{25}{7} = -3\frac{4}{7} $

Таким образом, решение неравенства: $ -3\frac{4}{7} < x \le -\frac{4}{7} $.

Решение можно записать в виде интервала $ (-3\frac{4}{7}, -\frac{4}{7}] $.

Ответ: $ x \in (-3\frac{4}{7}, -\frac{4}{7}] $.