Номер 1.392, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.392. Найдите значения числа $a$, при которых система неравенств $\begin{cases} 3x \le 15, \\ x > a \end{cases}$ не имеет решений.

Для того чтобы найти значения числа $a$, при которых данная система неравенств не имеет решений, необходимо проанализировать каждое неравенство и условия их совместного выполнения.

Заданная система неравенств:

$$\begin{cases} 3x \le 15 \\ x > a\end{cases}$$

1. Сначала решим первое неравенство:

$3x \le 15$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x \le \frac{15}{3}$

$x \le 5$

Решением этого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 5]$.

2. Второе неравенство системы уже решено относительно $x$:

$x > a$

Решением этого неравенства является числовой промежуток $(a; +\infty)$.

3. Система неравенств имеет решение, когда существует хотя бы одно значение $x$, удовлетворяющее обоим неравенствам одновременно. Это означает, что пересечение их множеств решений не является пустым.

Множество решений системы — это пересечение промежутков $(-\infty; 5]$ и $(a; +\infty)$.

Система не будет иметь решений, если это пересечение окажется пустым. Это произойдет, если левая граница второго промежутка (число $a$) будет больше или равна правой границе первого промежутка (числу 5).

На числовой оси это означает, что луч $(a; +\infty)$ должен начинаться в точке $a$, которая находится правее или совпадает с точкой 5.

• Если $a > 5$, то промежутки не пересекаются. Например, если $a = 6$, то нужно найти $x$ такой, что $x \le 5$ и $x > 6$, что невозможно.
• Если $a = 5$, система принимает вид: $$ \begin{cases} x \le 5 \\ x > 5 \end{cases} $$ Не существует числа, которое одновременно меньше или равно 5 и строго больше 5. Следовательно, при $a=5$ решений также нет.

Таким образом, система не имеет решений, если выполняется условие $a \ge 5$.

Ответ: система не имеет решений при $a \ge 5$.