Номер 1.399, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.399. Найдите значение выражения:

a) $2\sqrt{6\frac{1}{4}} + 9\sqrt{1\frac{7}{9}};

б) $5\sqrt{2.56} - 2(\sqrt{5})^2.

а) $2\sqrt{6\frac{1}{4}} + 9\sqrt{1\frac{7}{9}}$

Для решения данного выражения необходимо выполнить последовательно несколько действий.

Шаг 1: Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби.

Смешанные числа под знаками корней преобразуем в неправильные дроби для удобства извлечения корня.

$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{24 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

После преобразования выражение принимает вид:

$2\sqrt{\frac{25}{4}} + 9\sqrt{\frac{16}{9}}$

Шаг 2: Извлечение квадратных корней.

Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$

$\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$

Подставляем полученные значения обратно в выражение:

$2 \cdot \frac{5}{2} + 9 \cdot \frac{4}{3}$

Шаг 3: Умножение и сложение.

Выполняем операции умножения, сокращая дроби, а затем складываем результаты.

$2 \cdot \frac{5}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2} = 5$

$9 \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{3} = 3 \cdot 4 = 12$

Теперь складываем полученные числа:

$5 + 12 = 17$

Ответ: 17

б) $5\sqrt{2,56} - 2(\sqrt{5})^2$

Для решения данного выражения необходимо вычислить значение каждого члена, а затем найти их разность.

Шаг 1: Вычисление первого члена $5\sqrt{2,56}$.

Сначала найдем значение $\sqrt{2,56}$. Для этого можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной:

$2,56 = \frac{256}{100}$

Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{2,56} = \sqrt{\frac{256}{100}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{100}} = \frac{16}{10} = 1,6$

Далее умножим результат на 5:

$5 \cdot 1,6 = 8$

Шаг 2: Вычисление второго члена $2(\sqrt{5})^2$.

По определению квадратного корня, возведение корня в квадрат дает подкоренное выражение: $(\sqrt{a})^2 = a$ (при $a \ge 0$).

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Теперь умножим результат на 2:

$2 \cdot 5 = 10$

Шаг 3: Вычисление разности.

Подставляем вычисленные значения в исходное выражение и находим разность:

$5\sqrt{2,56} - 2(\sqrt{5})^2 = 8 - 10 = -2$

Ответ: -2