Номер 2.149, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.149. Разложите на множители:

а) $x^2(x + 1) + 4x(x + 1) - 12(x + 1);$

б) $4x^2(x^2 - 25) - 5x(x^2 - 25) + (x^2 - 25).$

а) $x^2(x+1)+4x(x+1)-12(x+1)$

Для разложения данного выражения на множители, заметим, что каждый член выражения содержит общий множитель $(x+1)$. Вынесем его за скобки:

$(x+1)(x^2 + 4x - 12)$

Теперь необходимо разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 4x - 12$. Для этого найдем два числа, произведение которых равно свободному члену ($-12$), а сумма равна коэффициенту при $x$ ($4$).

По теореме Виета, такими числами являются $6$ и $-2$, поскольку:

$6 \cdot (-2) = -12$

$6 + (-2) = 4$

Следовательно, квадратный трехчлен можно записать в виде произведения:

$x^2 + 4x - 12 = (x+6)(x-2)$

Подставляем это разложение обратно и получаем итоговый результат:

$(x+1)(x+6)(x-2)$

Ответ: $(x+1)(x-2)(x+6)$

б) $4x^2(x^2 - 25) - 5x(x^2 - 25) + (x^2 - 25)$

В данном выражении общим множителем для всех трех членов является $(x^2 - 25)$. Вынесем его за скобки (учитывая, что последний член равен $1 \cdot (x^2 - 25)$):

$(x^2 - 25)(4x^2 - 5x + 1)$

Теперь разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель, $(x^2 - 25)$, является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$

Второй множитель, $4x^2 - 5x + 1$, является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:

$4x^2 - 5x + 1 = 4(x-1)(x-\frac{1}{4}) = (x-1) \cdot 4(x-\frac{1}{4}) = (x-1)(4x-1)$

Объединим все полученные множители:

$(x-5)(x+5)(x-1)(4x-1)$

Ответ: $(x-5)(x+5)(x-1)(4x-1)$