Номер 2.152, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.152. Разложите на множители, если это возможно, квадратный трехчлен:

а) $x^2 + x - 20$;

б) $x^2 - 7x + 10$;

в) $2x^2 + 3x - 5$;

г) $3x^2 - 2x - 1$;

д) $3x^2 + x - 2$;

е) $-x^2 - 2x + 35$;

ж) $-4x^2 + 5x - 1$;

з) $x^2 + 8x + 16$;

и) $3x^2 + 11x - 14$;

к) $4x^2 - 12x + 9$;

л) $x^2 + 2x + 9$;

м) $-2x^2 - 5x - 11$.

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если дискриминант $D = b^2 - 4ac < 0$, то у уравнения нет действительных корней, и трехчлен разложить на линейные множители с действительными коэффициентами нельзя.

а) $x^2 + x - 20$
Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 + x - 20 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$
Подставляем корни в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = 1 \cdot (x - (-5))(x - 4) = (x+5)(x-4)$.
Ответ: $(x+5)(x-4)$.

б) $x^2 - 7x + 10$
Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 - 7x + 10 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2} = 5$
Разложение: $x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$.
Ответ: $(x-2)(x-5)$.

в) $2x^2 + 3x - 5$
Приравняем трехчлен к нулю: $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{4} = 1$
Разложение: $2(x - 1)(x - (-\frac{5}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{5}{2}) = (x-1)(2x+5)$.
Ответ: $(2x+5)(x-1)$.

г) $3x^2 - 2x - 1$
Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 - 2x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{6} = 1$
Разложение: $3(x - 1)(x - (-\frac{1}{3})) = 3(x-1)(x+\frac{1}{3}) = (x-1)(3x+1)$.
Ответ: $(3x+1)(x-1)$.

д) $3x^2 + x - 2$
Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 + x - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{6} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Разложение: $3(x - (-1))(x - \frac{2}{3}) = 3(x+1)(x-\frac{2}{3}) = (x+1)(3x-2)$.
Ответ: $(x+1)(3x-2)$.

е) $-x^2 - 2x + 35$
Приравняем трехчлен к нулю: $-x^2 - 2x + 35 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + 2x - 35 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 12}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 12}{2} = 5$
Разложение (с учетом исходного $a=-1$): $-(x - (-7))(x - 5) = -(x+7)(x-5)$.
Ответ: $-(x+7)(x-5)$.

ж) $-4x^2 + 5x - 1$
Приравняем трехчлен к нулю: $-4x^2 + 5x - 1 = 0$. Умножим на -1: $4x^2 - 5x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{8} = 1$
Разложение (с учетом исходного $a=-4$): $-4(x-1)(x-\frac{1}{4}) = -(x-1) \cdot 4(x-\frac{1}{4}) = -(x-1)(4x-1)$.
Ответ: $-(4x-1)(x-1)$.

з) $x^2 + 8x + 16$
Данный трехчлен является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$.
Проверка через дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$.
Корень $x = \frac{-8}{2} = -4$. Разложение: $(x-(-4))^2 = (x+4)^2$.
Ответ: $(x+4)^2$.

и) $3x^2 + 11x - 14$
Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 + 11x - 14 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 17}{6} = -\frac{28}{6} = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 17}{6} = 1$
Разложение: $3(x-1)(x - (-\frac{14}{3})) = 3(x-1)(x+\frac{14}{3}) = (x-1)(3x+14)$.
Ответ: $(3x+14)(x-1)$.

к) $4x^2 - 12x + 9$
Данный трехчлен является полным квадратом разности: $(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x-3)^2$.
Проверка через дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
Корень $x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$. Разложение: $4(x-\frac{3}{2})^2 = (2(x-\frac{3}{2}))^2 = (2x-3)^2$.
Ответ: $(2x-3)^2$.

л) $x^2 + 2x + 9$
Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 + 2x + 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -32$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: разложить на множители невозможно.

м) $-2x^2 - 5x - 11$
Приравняем трехчлен к нулю: $-2x^2 - 5x - 11 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 + 5x + 11 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 25 - 88 = -63$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: разложить на множители невозможно.