Номер 2.156, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.156. Разложите на множители многочлен:

а) $x^3 + x^2 - 12x;$

б) $-3x^3 + 14x^2 - 8x;$

в) $2x^4 - 7x^3 - 4x^2;$

г) $-36x^4 + 12x^3 - x^2.$

а) $x^3 + x^2 - 12x$

Для разложения многочлена на множители сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 + x^2 - 12x = x(x^2 + x - 12)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 12$. Для этого нужно найти два числа, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $1$. Эти числа — $4$ и $-3$.

Таким образом, $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$.

Окончательное разложение многочлена:

Ответ: $x(x - 3)(x + 4)$.

б) $-3x^3 + 14x^2 - 8x$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки. Мы выносим $-x$, а не просто $x$, чтобы коэффициент при $x^2$ в скобках стал положительным, что упрощает дальнейшее разложение.

$-3x^3 + 14x^2 - 8x = -x(3x^2 - 14x + 8)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $3x^2 - 14x + 8$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 14x + 8 = 0$ через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 10}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Квадратный трехчлен раскладывается по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$3(x - 4)(x - \frac{2}{3}) = (x - 4)(3(x - \frac{2}{3})) = (x - 4)(3x - 2)$

Полное разложение исходного многочлена:

Ответ: $-x(x - 4)(3x - 2)$.

в) $2x^4 - 7x^3 - 4x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$2x^4 - 7x^3 - 4x^2 = x^2(2x^2 - 7x - 4)$

Разложим на множители квадратный трехчлен $2x^2 - 7x - 4$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x - 4 = 0$ через дискриминант.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложение квадратного трехчлена:

$2(x - 4)(x - (-\frac{1}{2})) = 2(x - 4)(x + \frac{1}{2}) = (x - 4)(2(x + \frac{1}{2})) = (x - 4)(2x + 1)$

Полное разложение исходного многочлена:

Ответ: $x^2(x - 4)(2x + 1)$.

г) $-36x^4 + 12x^3 - x^2$

Вынесем общий множитель $-x^2$ за скобки:

$-36x^4 + 12x^3 - x^2 = -x^2(36x^2 - 12x + 1)$

Выражение в скобках $36x^2 - 12x + 1$ представляет собой формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{36x^2} = 6x$ и $b = \sqrt{1} = 1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 6x \cdot 1 = 12x$. Формула верна.

Следовательно, $36x^2 - 12x + 1 = (6x - 1)^2$.

Окончательное разложение многочлена:

Ответ: $-x^2(6x - 1)^2$.