Номер 2.154, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.154. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) $x^2 + 2x - 1;$

б) $x^2 - 4x - 2;$

в) $3x^2 - 2x - 4.$

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

а) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 2x - 1$.
Сначала решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 1 = 0$.
Коэффициенты данного уравнения: $a=1, b=2, c=-1$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}$.
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 2x - 1 = 1 \cdot (x - (-1 + \sqrt{2}))(x - (-1 - \sqrt{2})) = (x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2})$.

б) Разложим на множители трехчлен $x^2 - 4x - 2$.
Решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 4x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-4, c=-2$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2\sqrt{6}}{2} = 2 + \sqrt{6}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2\sqrt{6}}{2} = 2 - \sqrt{6}$.
Подставим корни в формулу разложения:
$x^2 - 4x - 2 = 1 \cdot (x - (2 + \sqrt{6}))(x - (2 - \sqrt{6})) = (x - 2 - \sqrt{6})(x - 2 + \sqrt{6})$.

Ответ: $(x - 2 - \sqrt{6})(x - 2 + \sqrt{6})$.

в) Разложим на множители трехчлен $3x^2 - 2x - 4$.
Решим уравнение $3x^2 - 2x - 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=3, b=-2, c=-4$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 4 + 48 = 52$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 2\sqrt{13}}{6} = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 2\sqrt{13}}{6} = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$.
Подставим коэффициент $a=3$ и найденные корни в формулу разложения:
$3x^2 - 2x - 4 = 3(x - \frac{1 + \sqrt{13}}{3})(x - \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$.

Ответ: $3\left(x - \frac{1 + \sqrt{13}}{3}\right)\left(x - \frac{1 - \sqrt{13}}{3}\right)$.