Номер 2.153, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.153. Представьте квадратный трехчлен в виде произведения двух двучленов:

а) $6x^2 - x - 12$;

б) $-12x^2 + x + 1$.

Чтобы представить квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ в виде произведения двух двучленов, используется формула разложения на множители: $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а) $6x^2 - x - 12$

1. Приравняем трехчлен к нулю и решим полученное квадратное уравнение, чтобы найти его корни:

$6x^2 - x - 12 = 0$

2. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289$

3. Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} = -\mathbf{1}\frac{1}{3}$

4. Подставим найденные корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$6(x - \frac{3}{2})(x - (-\frac{4}{3})) = 6(x - \frac{3}{2})(x + \frac{4}{3})$

5. Чтобы избавиться от дробей и получить двучлены с целыми коэффициентами, распределим множитель $a=6$ (представив его как $2 \cdot 3$) по скобкам:

$2(x - \frac{3}{2}) \cdot 3(x + \frac{4}{3}) = (2x - 3)(3x + 4)$

Ответ: $(2x - 3)(3x + 4)$.

б) $-12x^2 + x + 1$

1. Приравняем трехчлен к нулю и решим уравнение:

$-12x^2 + x + 1 = 0$

2. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot (-12) \cdot 1 = 1 + 48 = 49$

3. Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot (-12)} = \frac{-1 + 7}{-24} = \frac{6}{-24} = -\frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot (-12)} = \frac{-1 - 7}{-24} = \frac{-8}{-24} = \frac{1}{3}$

4. Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-12(x - (-\frac{1}{4}))(x - \frac{1}{3}) = -12(x + \frac{1}{4})(x - \frac{1}{3})$

5. Распределим множитель $a=-12$ (представив его как $4 \cdot (-3)$) по скобкам, чтобы получить двучлены с целыми коэффициентами:

$4(x + \frac{1}{4}) \cdot (-3)(x - \frac{1}{3}) = (4x + 1)(-3x + 1)$

Выражение можно записать в виде $(4x + 1)(1 - 3x)$.

Ответ: $(4x + 1)(1 - 3x)$.