Номер 2.146, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.146. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) $x^2 - 3x + 2;$

б) $5x^2 - 15x + 10;$

в) $2x^2 - 6x + 4;$

г) $-0.5x^2 + 1.5x - 1;$

д) $\frac{1}{4}x^2 - x - 15;$

е) $-\frac{2}{3}x^2 - 3x + 6.$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а) $x^2 - 3x + 2$

1. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Поскольку это приведенное квадратное уравнение (коэффициент $a=1$), можно воспользоваться теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

2. Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$. Так как $a=1$, получаем:
$x^2 - 3x + 2 = 1 \cdot (x - 1)(x - 2) = (x - 1)(x - 2)$.

Ответ: $(x - 1)(x - 2)$.

б) $5x^2 - 15x + 10$

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(x^2 - 3x + 2)$.
Квадратный трехчлен в скобках, $x^2 - 3x + 2$, такой же, как в пункте а). Его разложение: $(x - 1)(x - 2)$.
Следовательно, $5x^2 - 15x + 10 = 5(x - 1)(x - 2)$.

Ответ: $5(x - 1)(x - 2)$.

в) $2x^2 - 6x + 4$

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x^2 - 3x + 2)$.
Трехчлен в скобках, $x^2 - 3x + 2$, совпадает с трехчленом из пункта а). Его разложение: $(x - 1)(x - 2)$.
Таким образом, $2x^2 - 6x + 4 = 2(x - 1)(x - 2)$.

Ответ: $2(x - 1)(x - 2)$.

г) $-0,5x^2 + 1,5x - 1$

Вынесем за скобки коэффициент при $x^2$, то есть $-0,5$: $-0,5(x^2 - 3x + 2)$.
Трехчлен в скобках, $x^2 - 3x + 2$, тот же, что и в пункте а). Его разложение: $(x - 1)(x - 2)$.
Следовательно, $-0,5x^2 + 1,5x - 1 = -0,5(x - 1)(x - 2)$.

Ответ: $-0,5(x - 1)(x - 2)$.

д) $\frac{1}{4}x^2 - x - 15$

1. Найдем корни уравнения $\frac{1}{4}x^2 - x - 15 = 0$.
Коэффициенты: $a=\frac{1}{4}, b=-1, c=-15$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot (\frac{1}{4}) \cdot (-15) = 1 - (-15) = 1 + 15 = 16$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{16}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1 + 4}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{16}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1 - 4}{\frac{1}{2}} = -3 \cdot 2 = -6$.

2. Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$\frac{1}{4}x^2 - x - 15 = \frac{1}{4}(x - 10)(x - (-6)) = \frac{1}{4}(x - 10)(x + 6)$.

Ответ: $\frac{1}{4}(x - 10)(x + 6)$.

е) $-\frac{2}{3}x^2 - 3x + 6$

1. Найдем корни уравнения $-\frac{2}{3}x^2 - 3x + 6 = 0$.
Коэффициенты: $a=-\frac{2}{3}, b=-3, c=6$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot 6 = 9 + \frac{8}{3} \cdot 6 = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = \frac{8}{-\frac{4}{3}} = 8 \cdot (-\frac{3}{4}) = -6$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = \frac{-2}{-\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$.

2. Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$-\frac{2}{3}x^2 - 3x + 6 = -\frac{2}{3}(x - (-6))(x - \frac{3}{2}) = -\frac{2}{3}(x + 6)(x - \frac{3}{2})$.
Корень $x_2 = \frac{3}{2}$ является неправильной дробью. В виде смешанного числа это $1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}(x + 6)(x - \mathbf{1}\frac{1}{2})$.