Номер 2.144, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.144. Разложите на множители квадратный трехчлен:

a) $x^2 - 2x - 1;$

б) $x^2 + 4x - 2;$

в) $2x^2 + 5x - 1.$

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Найдем корни для каждого трехчлена.

Чтобы разложить трехчлен на множители, найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Подставим найденные корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 2x - 1 = 1 \cdot (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2})) = (x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-2$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$.

Корни уравнения: $x_1 = -2 + \sqrt{6}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{6}$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 + 4x - 2 = (x - (-2 + \sqrt{6}))(x - (-2 - \sqrt{6})) = (x + 2 - \sqrt{6})(x + 2 + \sqrt{6})$.

Ответ: $(x + 2 - \sqrt{6})(x + 2 + \sqrt{6})$.

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=5$, $c=-1$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 25 + 8 = 33$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ и $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 + 5x - 1 = 2\left(x - \frac{-5 + \sqrt{33}}{4}\right)\left(x - \frac{-5 - \sqrt{33}}{4}\right)$.

Ответ: $2\left(x - \frac{-5 + \sqrt{33}}{4}\right)\left(x - \frac{-5 - \sqrt{33}}{4}\right)$.