Номер 2.140, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.140. Найдите корни квадратного трехчлена:

а) $2x^2+5x+2;$

б) $-x^2-x+6;$

в) $x^2-2x-8;$

г) $-x^2-4x-3;$

д) $x^2-5x+9;$

е) $8x^2-10x-3.$

Для нахождения корней квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ необходимо решить соответствующее квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

а) $2x^2+5x+2$

Приравняем трехчлен к нулю: $2x^2+5x+2=0$.

Коэффициенты уравнения: $a=2, b=5, c=2$.

Вычислим дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

Ответ: $-2; -\frac{1}{2}$.

б) $-x^2-x+6$

Приравняем трехчлен к нулю: $-x^2-x+6=0$. Для удобства умножим обе части уравнения на $-1$:

$x^2+x-6=0$.

Коэффициенты: $a=1, b=1, c=-6$.

Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $-3; 2$.

в) $x^2-2x-8$

Приравняем трехчлен к нулю: $x^2-2x-8=0$.

Коэффициенты: $a=1, b=-2, c=-8$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-2) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 4$.

г) $-x^2-4x-3$

Приравняем трехчлен к нулю: $-x^2-4x-3=0$. Умножим обе части уравнения на $-1$:

$x^2+4x+3=0$.

Коэффициенты: $a=1, b=4, c=3$.

Вычислим дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-4 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $-3; -1$.

д) $x^2-5x+9$

Приравняем трехчлен к нулю: $x^2-5x+9=0$.

Коэффициенты: $a=1, b=-5, c=9$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 25 - 36 = -11$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

е) $8x^2-10x-3$

Приравняем трехчлен к нулю: $8x^2-10x-3=0$.

Коэффициенты: $a=8, b=-10, c=-3$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 100 + 96 = 196$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 8} = \frac{10 + 14}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 8} = \frac{10 - 14}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$; 1$\frac{1}{2}$.