устные вопросы и задания в § 10, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то квадратный трехчлен:

а) нельзя разложить на множители;

б) имеет два различных корня;

в) представляет собой квадрат двучлена.

Выберите правильный ответ.

Рассмотрим общий вид квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$. Его дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Знак дискриминанта определяет количество действительных корней соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и свойства самого трехчлена. В условии задачи сказано, что дискриминант больше нуля ($D > 0$). Проанализируем каждый из предложенных вариантов в этом контексте.

а) нельзя разложить на множители;

Это утверждение неверно. Согласно теореме о разложении квадратного трехчлена, если он имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$, то его можно представить в виде произведения $a(x - x_1)(x - x_2)$. Условие $D > 0$ как раз гарантирует наличие двух различных действительных корней. Следовательно, трехчлен всегда можно разложить на множители.

б) имеет два различных корня;

Это утверждение верно. По определению, если дискриминант квадратного уравнения больше нуля ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня. Они находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Так как $D > 0$, то $\sqrt{D}$ является положительным числом, и из-за знака $\pm$ мы получаем два различных значения.

в) представляет собой квадрат двучлена.

Это утверждение неверно. Квадратный трехчлен является полным квадратом двучлена (например, $(px+q)^2$) тогда и только тогда, когда соответствующее ему уравнение имеет один корень кратности 2 (то есть два одинаковых корня). Это условие выполняется только при дискриминанте, равном нулю ($D = 0$). В нашем же случае $D > 0$.

Таким образом, единственным верным утверждением является вариант б.