Номер 2.138, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.138. Разложите на множители многочлен:

а) $x^2 + 4x - 2xy - 8y;$

б) $16x^2 + 40x + 25;$

в) $36t^2 + 36t + 9;$

г) $x^2 - x + 0.25.$

а) Для разложения многочлена $x^2 + 4x - 2xy - 8y$ на множители применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(x^2 + 4x) + (-2xy - 8y)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе общим множителем является $x$, во второй — $-2y$:

$x(x + 4) - 2y(x + 4)$

Теперь мы видим, что у обеих групп есть общий множитель $(x + 4)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 4)(x - 2y)$

Ответ: $(x + 4)(x - 2y)$.

б) Многочлен $16x^2 + 40x + 25$ представляет собой трехчлен. Проверим, является ли он полным квадратом суммы, используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $16x^2$ можно представить как $(4x)^2$.

Третий член $25$ можно представить как $5^2$.

Пусть $a = 4x$ и $b = 5$. Тогда удвоенное произведение $2ab$ должно быть равно среднему члену:

$2 \cdot (4x) \cdot 5 = 40x$

Поскольку средний член совпадает, данный многочлен является полным квадратом суммы $(4x+5)$.

$16x^2 + 40x + 25 = (4x + 5)^2$

Ответ: $(4x + 5)^2$.

в) Для разложения многочлена $36t^2 + 36t + 9$ на множители, сначала вынесем за скобки наибольший общий делитель его членов. Для коэффициентов 36, 36 и 9 НОД равен 9.

$36t^2 + 36t + 9 = 9(4t^2 + 4t + 1)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках $4t^2 + 4t + 1$. Это также полный квадрат, соответствующий формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $4t^2 = (2t)^2$.

Третий член $1 = 1^2$.

Пусть $a = 2t$ и $b = 1$. Проверим средний член:

$2 \cdot (2t) \cdot 1 = 4t$

Он совпадает со средним членом в скобках. Таким образом, $4t^2 + 4t + 1 = (2t + 1)^2$.

Окончательный вид разложения:

$9(2t + 1)^2$

Ответ: $9(2t + 1)^2$.

г) Многочлен $x^2 - x + 0,25$ является трехчленом. Проверим, является ли он полным квадратом разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Первый член $x^2 = (x)^2$.

Третий член $0,25 = (0,5)^2$.

Пусть $a = x$ и $b = 0,5$. Тогда удвоенное произведение со знаком минус $-2ab$ должно быть равно среднему члену:

$-2 \cdot x \cdot 0,5 = -x$

Средний член совпадает, следовательно, многочлен является полным квадратом разности $(x - 0,5)$.

$x^2 - x + 0,25 = (x - 0,5)^2$

Ответ: $(x - 0,5)^2$.