Номер 2.131, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.131. Решите систему уравнений $\begin{cases} \frac{2x+3y}{4} = \frac{3x+4y}{7}, \\ \frac{5y-6x}{10} = 6-2x. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x + 3y}{4} = \frac{3x + 4y}{7} \\ \frac{5y - 6x}{10} = 6 - 2x \end{cases} $$

Для решения системы необходимо сначала упростить каждое уравнение, избавившись от дробей.

1. Упрощение первого уравнения

Применим основное свойство пропорции к первому уравнению $\frac{2x + 3y}{4} = \frac{3x + 4y}{7}$ (умножим уравнение крест-накрест):

$$ 7 \cdot (2x + 3y) = 4 \cdot (3x + 4y) $$

Раскроем скобки:

$$ 14x + 21y = 12x + 16y $$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а с переменной $y$ – в правой:

$$ 14x - 12x = 16y - 21y $$

Приведем подобные члены:

$$ 2x = -5y $$

2. Упрощение второго уравнения

Умножим обе части второго уравнения $\frac{5y - 6x}{10} = 6 - 2x$ на 10, чтобы избавиться от знаменателя:

$$ 5y - 6x = 10 \cdot (6 - 2x) $$

Раскроем скобки в правой части:

$$ 5y - 6x = 60 - 20x $$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения:

$$ 5y - 6x + 20x = 60 $$

Приведем подобные члены:

$$ 14x + 5y = 60 $$

3. Решение полученной системы

В результате упрощений мы получили следующую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x = -5y \\ 14x + 5y = 60 \end{cases} $$

Эту систему удобно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $5y$:

$$ 5y = -2x $$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ 14x + (-2x) = 60 $$

$$ 12x = 60 $$

Отсюда найдем значение $x$:

$$ x = \frac{60}{12} $$

$$ x = 5 $$

Теперь, зная $x$, найдем $y$. Подставим значение $x=5$ в выражение $5y = -2x$:

$$ 5y = -2 \cdot 5 $$

$$ 5y = -10 $$

$$ y = \frac{-10}{5} $$

$$ y = -2 $$

Таким образом, решение системы уравнений: $x=5$ и $y=-2$.

4. Проверка решения

Подставим найденные значения в исходные уравнения:

Для первого уравнения: $$ \frac{2(5) + 3(-2)}{4} = \frac{10 - 6}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ $$ \frac{3(5) + 4(-2)}{7} = \frac{15 - 8}{7} = \frac{7}{7} = 1 $$ Равенство $1=1$ верно.

Для второго уравнения: $$ \frac{5(-2) - 6(5)}{10} = \frac{-10 - 30}{10} = \frac{-40}{10} = -4 $$ $$ 6 - 2(5) = 6 - 10 = -4 $$ Равенство $-4=-4$ верно.

Решение найдено правильно.

x: Ответ: 5

y: Ответ: -2