Номер 2.127, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.127. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

a) $1+\sqrt{3}$ и $1-\sqrt{3}$;

б) $7-\sqrt{2}$ и $7+\sqrt{2}$.

Для составления квадратного уравнения по его известным корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно этой теореме, приведенное квадратное уравнение (где коэффициент при $x^2$ равен 1) имеет вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

Здесь коэффициент при $x$ равен сумме корней, взятой с противоположным знаком, а свободный член равен произведению корней.

a) Даны корни $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{3}$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 2$.

2. Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$.

3. Подставляем найденные значения в общую формулу уравнения $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$:

$x^2 - (2)x + (-2) = 0$, что равносильно $x^2 - 2x - 2 = 0$.

Ответ: a) $x^2 - 2x - 2 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 7 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 7 + \sqrt{2}$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (7 - \sqrt{2}) + (7 + \sqrt{2}) = 14$.

2. Найдем произведение корней, используя ту же формулу разности квадратов:

$x_1 \cdot x_2 = (7 - \sqrt{2})(7 + \sqrt{2}) = 7^2 - (\sqrt{2})^2 = 49 - 2 = 47$.

3. Подставляем найденные значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (14)x + 47 = 0$, что равносильно $x^2 - 14x + 47 = 0$.

Ответ: б) $x^2 - 14x + 47 = 0$.