Номер 2.129, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.129. Составьте квадратное уравнение, зная, что произведение его корней равно $-10$, а сумма квадратов его корней равна $29$.

Пусть искомое приведенное квадратное уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, для такого уравнения справедливы следующие соотношения между его корнями $x_1$ и $x_2$ и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Из условий задачи нам известно:

1. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -10$.
2. Сумма квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = 29$.

Из первого условия и теоремы Виета мы можем сразу найти коэффициент $q$: $q = x_1 \cdot x_2 = -10$.

Теперь найдем коэффициент $p$. Для этого воспользуемся вторым условием. Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней, используя известное тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения: $29 = (x_1 + x_2)^2 - 2 \cdot (-10)$ $29 = (x_1 + x_2)^2 + 20$

Теперь выразим квадрат суммы корней: $(x_1 + x_2)^2 = 29 - 20$ $(x_1 + x_2)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для суммы корней: $x_1 + x_2 = 3$ или $x_1 + x_2 = -3$.

Так как $p = -(x_1 + x_2)$, то мы получаем два возможных значения для коэффициента $p$, и, соответственно, два возможных квадратных уравнения:

• Случай 1: Если сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, то коэффициент $p = -3$.
  Тогда искомое уравнение имеет вид: $x^2 - 3x - 10 = 0$.
• Случай 2: Если сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, то коэффициент $p = -(-3) = 3$.
  Тогда искомое уравнение имеет вид: $x^2 + 3x - 10 = 0$.

Оба полученных уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Ответ: $x^2 - 3x - 10 = 0$ или $x^2 + 3x - 10 = 0$.