Номер 2.125, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.125. а) Один из корней уравнения $x^2 + px - 28 = 0$ равен 14. Найдите другой корень и коэффициент $p$.

б) Один из корней уравнения $4x^2 - x + c = 0$ равен 1. Найдите другой корень и свободный член $c$.

а) Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$
• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$

В уравнении $x^2 + px - 28 = 0$ нам даны: коэффициент $c = -28$, коэффициент $b = p$ и один из корней $x_1 = 14$.

1. Найдем второй корень $x_2$, используя формулу для произведения корней:

$14 \cdot x_2 = -28$

$x_2 = \frac{-28}{14}$

$x_2 = -2$

2. Теперь, зная оба корня, найдем коэффициент $p$ из формулы для суммы корней:

$14 + (-2) = -p$

$12 = -p$

$p = -12$

Ответ: другой корень равен -2, коэффициент $p$ равен -12.

б) Для уравнения $4x^2 - x + c = 0$ воспользуемся теоремой Виета для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$. Формулы выглядят так:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{d}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты $a = 4$, $b = -1$, свободный член равен $c$, а один из корней $x_1 = 1$.

1. Найдем второй корень $x_2$ из формулы для суммы корней:

$1 + x_2 = -\frac{-1}{4}$

$1 + x_2 = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$

2. Найдем свободный член $c$, используя формулу для произведения корней:

$1 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{c}{4}$

$-\frac{3}{4} = \frac{c}{4}$

$c = -3$

Ответ: другой корень равен $-\frac{3}{4}$, свободный член $c$ равен -3.